Ricevo da Leonardo la seguente domanda:
Gentilissimo professore
non capisco dove sbaglio. Ho la seguente disequazione: \[\sin x-\cos x>0\quad \quad 0\le x\le 2\pi \quad .\]
Se la risolvo graficamente tramite sinusoide e cosinusoide, i risultati sono: \(\frac{\pi }{4}<x<\frac{5}{4}\pi \). Se la risolvo dividendo per \(\cos x\), ottengo \(\tan x>1\), che è risolta per \(\frac{\pi }{4}<x<\frac{\pi }{2}\). Mi può dire dove sbaglio nella seconda?
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Leonardo,
attenzione: la divisione per \(\cos x\) non porta necessariamente alla disequazione \(\tan x>1\), dal momento che \(\cos x\) ha segno non sempre positivo nell’intervallo \(\left[ 0,2\pi \right]\), e inoltre dovresti considerare cosa succede per \(\cos x =0\), cioè in corrispondenza ai valori \(x=\pi/2\) e \(x=3\pi/2\); per la precisione, se proprio vuoi procedere in questo modo del tutto “anti-economico”, dovresti scrivere: \[\left\{ \begin{array}{ll} \sin x -\cos x >0 \\ 0\le x \le 2\pi \end{array} \right.\quad\to \left\{ \begin{array}{ll} \tan x >1 \\ 0\le x < \frac{\pi}{2} \vee \frac{3\pi}{2} < x \le 2\pi \end{array} \right.\quad \vee \left\{ \begin{array}{ll} \tan x <1 \\ \frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2} \end{array} \right. \quad \vee x=\frac{\pi}{2} \] da cui il risultato corretto:\[\left\{ \begin{array}{ll} \frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2} \vee \frac{5\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{2} \\ 0\le x < \frac{\pi}{2} \vee \frac{3\pi}{2} < x \le 2\pi \end{array} \right.\quad \vee \left\{ \begin{array}{ll} 0\le x < \frac{\pi}{4} \vee \frac{\pi}{2} < x < \frac{5\pi}{4} \vee \frac{3\pi}{2} < x \le 2\pi \\ \frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2} \end{array} \right. \quad \vee x=\frac{\pi}{2} \] \[\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2} \vee \frac{\pi}{2} < x < \frac{5\pi}{4} \vee x=\frac{\pi}{2} \to \frac{\pi }{4}<x<\frac{5\pi}{4} \quad .\]
Massimo Bergamini