Ricevo da Leonardo la seguente domanda:
Gentilissimo professore,
ho difficoltà nello studio della seguente funzione:
\[y=\arctan \left( \frac{1-x}{1+x} \right)-\frac{x+1}{x-2}\quad .\]
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Leonardo,
la funzione è definita, continua e derivabile nel dominio \(D=\mathbb{R}-\left\{ -1,2 \right\}\), e presenta i seguenti limiti significativi: \[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \arctan \left( \frac{1-x}{1+x} \right)-\frac{x+1}{x-2} \right)=-\frac{\pi }{4}-1\] \[\underset{x\to -{{1}^{\pm }}}{\mathop{\lim }}\,\left( \arctan \left( \frac{1-x}{1+x} \right)-\frac{x+1}{x-2} \right)=\pm \frac{\pi }{2}-0=\pm \frac{\pi }{2}\] \[\underset{x\to {{2}^{\pm }}}{\mathop{\lim }}\,\left( \arctan \left( \frac{1-x}{1+x} \right)-\frac{x+1}{x-2} \right)=\arctan \left( \pm \frac{1}{3} \right)-\frac{3}{{{0}^{\pm }}}=\mp \infty \quad .\] Pertanto, il grafico presenta un asintoto verticale per \(x=2\) e un asintoto orizzontale per \(y=-1-\pi /4\).
Riguardo al segno, aiutandosi con un confronto tra le rappresentazioni grafiche di \(y=\arctan \left( \frac{1-x}{1+x} \right)\) e di \(y=\frac{x+1}{x-2}\), si conclude che la funzione è positiva per \(-1<x<2\), negativa altrove; non vi sono zeri.
Consideriamo la derivata prima: \[y'=\frac{1}{1+\frac{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}{{{\left( 1+x \right)}^{2}}}}\cdot \frac{-2}{{{\left( 1+x \right)}^{2}}}+\frac{3}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=\]\[=\frac{2{{x}^{2}}+4x-1}{\left( 1+{{x}^{2}} \right){{\left( x-2 \right)}^{2}}}\] la quale si annulla per \(x=-1\pm \frac{\sqrt{6}}{2}\), ed è positiva esternamente all’intervallo definito da tali valori, per cui la funzione presenta un massimo relativo in corrispondenza a \(x=-1-\frac{\sqrt{6}}{2}\) e un minimo relativo in corrispondenza a \(x=-1+\frac{\sqrt{6}}{2}\).
La derivata seconda: \[y''=\frac{-2\left( 2{{x}^{4}}+6{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+8x+3 \right)}{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}{{\left( x-2 \right)}^{3}}}\] non è analizzabile senza l’ausilio di tecniche di calcolo approssimato: utilizzando software appositi, si può verificare che la derivata seconda si annulla in corrispondenza di \(x\approx -3,98\) e \(x\approx -0,29\), ascisse di corrispondenti punti di flesso nel grafico della funzione.
Massimo Bergamini