Ricevo da Marco la seguente domanda:
Gentile professore,
vorrei mi aiutasse a risolvere i seguenti esercizi (n.113-114-115-120, pag. 1206, Matematica.azzurro, vol.V):
Verifica i seguenti limiti, applicando la definizione:
\[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{4}{{{x}^{2}}}=+\infty \quad \quad \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{\frac{1}{x}}=+\infty \quad \quad \underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{2-x}}=+\infty \quad \quad \underset{x\to -3}{\mathop{\lim }}\,\frac{2}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}=+\infty \quad .\]
Grazie mille.
Gli rispondo così:
Caro Marco,
secondo la definizione, si tratta in ogni caso di risolvere disequazioni con parametro, verificando che l’insieme soluzione comprenda un intorno del tipo cercato:
\[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{4}{{{x}^{2}}}=+\infty \leftrightarrow \forall M>0\exists I\left( 0 \right)|\forall x\in I\left( 0 \right)-\left\{ 0 \right\}\Rightarrow \frac{4}{{{x}^{2}}}>M\]
per cui: \[\frac{4}{{{x}^{2}}}>M\to {{x}^{2}}<\frac{4}{M}\to -\frac{2}{\sqrt{M}}<x<\frac{2}{\sqrt{M}}\Rightarrow I\left( 0 \right)=\left] -\frac{2}{\sqrt{M}},\frac{2}{\sqrt{M}} \right[\quad ;\]
\[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{\frac{1}{x}}=+\infty \leftrightarrow \forall M>0\exists \delta >0|\forall x\in \left] 0,\delta \right[\Rightarrow \sqrt{\frac{1}{x}}>M\]
per cui: \[\sqrt{\frac{1}{x}}>M\to 0<x<\frac{1}{{{M}^{2}}}\Rightarrow \delta =\frac{1}{{{M}^{2}}}\quad ;\]
\[\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{2-x}}=+\infty \leftrightarrow \forall M>0\exists \delta >0|\forall x\in \left] 2-\delta ,2 \right[\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2-x}}>M\]
per cui: \[\frac{1}{\sqrt{2-x}}>M\to 0<2-x<\frac{1}{{{M}^{2}}}\to 2-\frac{1}{{{M}^{2}}}<x<2\Rightarrow \delta =\frac{1}{{{M}^{2}}}\quad ;\]
\[\underset{x\to -3}{\mathop{\lim }}\,\frac{2}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}=+\infty \leftrightarrow \forall M>0\exists I\left( -3 \right)|\forall x\in I\left( -3 \right)-\left\{ -3 \right\}\Rightarrow \frac{2}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}>M\]
per cui: \[\frac{2}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}>M\to {{\left( x+3 \right)}^{2}}<\frac{2}{M}\to -3-\sqrt{\frac{2}{M}}<x<-3+\sqrt{\frac{2}{M}}\Rightarrow I\left( -3 \right)=\left] -3-\sqrt{\frac{2}{M}},-3+\sqrt{\frac{2}{M}} \right[\quad .\]
Massimo Bergamini