Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
mi sono imbattuta nello studio di una funzione un po’ strana:
\[y=\frac{x+2}{\sqrt[3]{x}-\sqrt{x}}\quad .\]
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
la funzione ha dominio \(D=\left] 0,+\infty \right[-\left\{ 1 \right\}\), è positiva per , negativa nel resto del dominio e mai nulla. I limiti interessanti sono i seguenti: \[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+2}{\sqrt[3]{x}-\sqrt{x}}=\frac{2}{{{0}^{+}}}=+\infty \quad \underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+2}{\sqrt[3]{x}-\sqrt{x}}=\frac{3}{{{0}^{+}}}=+\infty \]\[\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+2}{\sqrt[3]{x}-\sqrt{x}}=\frac{3}{{{0}^{-}}}=-\infty \quad \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x}\left( 1+2/x \right)}{-1+1/\sqrt[6]{x}}=\frac{+\infty }{-1}=-\infty \] pertanto il grafico della funzione presenta due asintoti verticali, \(x=0\) e \(x=1\), e non presenta asintoti obliqui, in quanto la funzione è un infinito di ordine inferiore a \(1\) rispetto a \(x\) nel limite \(x\to +\infty\). 
La funzione derivata:\[y'=\frac{4\left( x-1 \right)-3\sqrt[6]{x}\left( x+2 \right)}{6\sqrt[3]{{{x}^{4}}}{{\left( 1-\sqrt[6]{x} \right)}^{2}}}\] si annulla in corrispondenza delle soluzioni dell’equazione \[4\left( x-1 \right)-3\sqrt[6]{x}\left( x+2 \right)=0\to \frac{4\left( x-1 \right)}{3\left( x+2 \right)}=\sqrt[6]{x}\] di cui, tramite analisi grafica e metodi numerici di calcolo numerico, possiamo determinare due soluzioni approssimate, \({{x}_{1}}\approx 0,07\) e \({{x}_{2}}\approx 10,75\), corrispondenti rispettivamente ad un minimo locale e a un massimo locale.
Massimo Bergamini