Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
questi quesiti non li ho capiti:
1) Determinare la misura delle diagonali del quadrilatero \(ABCD\) che è inscritto in una circonferenza ed ha \(AB=40\;cm\), \(BC=16\;cm\), \(CD=32\;cm\), \(AD=25\;cm\).
2) Determinare le diagonali di un quadrilatero convesso inscrittibile in una circonferenza i cui lati misurano \(20a\), \(65a\), \(65a\), \(70a\).
3) Nel trapezio rettangolo \(ABCD\) la base minore \(AB\) e il lato obliquo \(BC\) misurano \(5a\) e \(8a\sqrt{5}\). Preso il punto \(P\) sull’altezza \(BH\) in modo che \(BP\) sia \(10a\), determinare l’area del trapezio sapendo che \(AP\) è uguale al raggio della circonferenza \(BCP\).
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
nel primo caso, consideriamo la diagonale \(AC\) e gli angoli \(\alpha =A\hat{B}C\) e \(\pi -\alpha =A\hat{D}C\). In base al teorema dei coseni, applicato ai triangoli \(ABC\) e \(ADC\) in relazione al lato comune \(AC\), possiamo dire che: \[{{40}^{2}}+{{16}^{2}}-2\cdot 40\cdot 16\cdot \cos \alpha ={{32}^{2}}+{{25}^{2}}-2\cdot 32\cdot 25\cdot \cos \left( \pi -\alpha \right)\to \]\[\to 1856-1280\cos \alpha =1649+1600\cos \alpha \to \cos \alpha =\frac{23}{320}\to \] \[\to AC=\sqrt{1856-1280\frac{23}{320}}=42\quad .\] Procedendo in modo analogo per \(BD\), posto \(\beta =D\hat{A}B\) e \(\pi -\beta =D\hat{C}B\): \[{{40}^{2}}+{{25}^{2}}-2\cdot 40\cdot 25\cdot \cos \beta ={{32}^{2}}+{{16}^{2}}-2\cdot 32\cdot 16\cdot \cos \left( \pi -\beta \right)\to \]\[\to 2225-2000\cos \beta =1280+1024\cos \beta \to \cos \beta =\frac{35}{112}\to \] \[\to BD=\sqrt{1280+1024\frac{35}{112}}=40\quad .\]
Nel secondo caso, in modo analogo al precedente, poniamo \(AB=20a\), \(BC=65a\), \(CD=65a\), \(DA=70a\), \(\alpha =A\hat{B}C\), \(\pi -\alpha =A\hat{D}C\), \(\beta =D\hat{A}B\) e \(\pi -\beta =D\hat{C}B\): \[{{20}^{2}}{{a}^{2}}+{{65}^{2}}{{a}^{2}}-2\cdot 20\cdot 65{{a}^{2}}\cos \alpha =\]\[={{70}^{2}}{{a}^{2}}+{{65}^{2}}{{a}^{2}}-2\cdot 70\cdot 65{{a}^{2}}\cos \left( \pi -\alpha \right)\to \] \[\to 4625-2600\cos \alpha =9125+9100\cos \alpha \to \cos \alpha =-\frac{5}{13}\to \]\[\to AC=a\sqrt{4625+2600\frac{5}{13}}=75a\] \[{{20}^{2}}{{a}^{2}}+{{70}^{2}}{{a}^{2}}-2\cdot 20\cdot 70{{a}^{2}}\cos \beta =\]\[={{65}^{2}}{{a}^{2}}+{{65}^{2}}{{a}^{2}}-2\cdot 65\cdot 65{{a}^{2}}\cos \left( \pi -\beta \right)\to \] \[\to 5300-2800\cos \beta =8450+8450\cos \beta \to \cos \beta =-\frac{7}{25}\to \] \[\to BD=a\sqrt{5300+2800\frac{7}{25}}=78a\quad .\]
Nel terzo caso, ricaviamo subito \(AP=5\sqrt{5}a\), quindi, detti \(\alpha \), \(\beta \) e \(\gamma\) 
gli angoli nei vertici \(P\), \(B\) e \(C\) del triangolo \(PBC\), in base al teorema della corda si ha: \[\sin \alpha =\frac{8\sqrt{5}a}{5\sqrt{5}a}=\frac{4}{5}\quad \sin \gamma =\frac{10a}{10\sqrt{5}a}=\frac{\sqrt{5}}{5}\]e poiché possiamo dire che \(\alpha \) è sicuramente ottuso, essendo \(P\) interno a \(BH\), si ha anche:\[\cos \alpha =-\frac{3}{5},\cos \gamma =\frac{2\sqrt{5}}{5}\to \sin \beta =\]\[=\sin \left( \alpha +\gamma \right)=\frac{\sqrt{5}}{5},\cos \beta =\frac{2\sqrt{5}}{5}\quad .\] Pertanto si ha:\[HC=BC\sin \beta =8a\to DC=13a\]\[BH=AD=BC\cos \beta =16a\] e infine l’area del trapezio: \[{{S}_{ABCD}}=\frac{16a\left( 13a+5a \right)}{2}=144{{a}^{2}}\quad .\]
Massimo Bergamini