Ricevo da Giovanni la seguente domanda:
Gentile professore,
chiedo il suo aiuto per lo svolgimento del seguente esercizio:
calcola l’integrale indefinito \[\int{{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}\quad .\]
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Giovanni,
la funzione in questione, che assomiglia molto alla cosiddetta funzione di Gauss \({{e}^{-{{x}^{2}}}}\) della distribuzione normale degli errori, pur ammettendo l’integrale in senso indefinito, come ogni funzione continua, tuttavia (come peraltro avviene in molti casi) non ha primitive che possano essere espresse semplicemente in termini finiti, cioè che possano essere “costruite” per semplice composizione di un insieme finito di funzioni ordinarie… Esiste una funzione, che si chiama \(Erfi(x)\), definita appunto dal fatto che la sua derivata, moltiplicata per \(\frac{\sqrt{\pi }}{2}\), è \({{e}^{{{x}^{2}}}}\), ma ovviamente questo è solo un nome dato ad una “cosa” piuttosto sfuggente… Si possono comunque ricavare sviluppi in polinomi di Taylor-McLaurin dell’integrale in questione intorno ad assegnati valori di \(x\): ad esempio, per \(x\) intorno a \(0\), si ha l’approssimazione
\[x+\frac{{{x}^{3}}}{3}+\frac{{{x}^{5}}}{10}+o\left( {{x}^{6}} \right)\quad .\]
Massimo Bergamini