Ricevo da Giorgio la seguente domanda:
Buongiorno,
il professore ci ha chiesto, dopo aver spiegato le posizioni reciproche tra retta e circonferenza, se é possibile trovare l’equazione della tangente a una circonferenza o in generale a una curva date l’equazione della suddetta e le coordinate di un punto esterno ad essa con il calcolo delle derivate. La domanda è rimasta senza risposta e curioso ci ho ragionato un pò. La derivata della circonferenza nel punto di tangenza (quindi appartenente alla curva) è il coefficiente angolare della retta tangente. E dunque non è difficile trovare l’equazione richiesta se si ha il punto sulla circonferenza. Ma se si ha solo il punto esterno e non si possiedono le coordinate del punto di tangenza è ugualmente possibile usare le derivate per risolvere il problema?
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Giorgio,
la risposta è in generale sì, almeno se la curva in questione è il grafico di una funzione derivabile, a prescindere dal fatto che l’equazione che si ottiene sia più o meno “facile” da risolvere. Si tratta di invertire, in qualche modo , il punto di vista: data la funzione \(f(x)\), invece di partire da un punto del suo grafico assunto come punto di tangenza e ricavare poi il valore che la funzione derivata assume in corrispondenza all’ascissa di tale punto, si tratta invece di partire dall’equazione generale della retta tangente in un generico punto della curva, imponendo a tale retta di passare per il punto esterno alla curva assegnato. In pratica, detto \(P(x_P,y_P)\) tale punto non appartenente al grafico di \(f(x)\), si considera un generico punto \((t,f(t))\) appartenente a tale grafico, e si scrive l’equazione della retta tangente al grafico in tale punto, cioè: \[{{y}_{t}}=f'\left( t \right)\left( x-t \right)+f\left( t \right)\]che risulta essere una famiglia ad un parametro di rette (al variare di \(t\), si deve immaginare che tale retta “scorra” sul grafico di \(f(x)\) mantenendosi tangente ad esso). Quindi, si impone al punto \(P(x_P,y_P)\) di appartenere a tale retta, ottenendo così un’equazione per il parametro \(t\) le cui eventuali soluzioni forniscono le eventuali rette tangenti al grafico di \(f(x)\) passanti per \(P\) e i relativi punti di tangenza:\[{{y}_{P}}=f'\left( t \right)\left( {{x}_{P}}-t \right)+f\left( t \right)\quad .\] Ad esempio, le tangenti alla parabola \(f(x)=x^2-4x\) passanti per \(P(3,-4)\) si possono determinare con la tecnica suddetta:\[{{y}_{t}}=\left( 2t-4 \right)\left( x-t \right)+{{t}^{2}}-4t\]è la generica retta tangente alla parabola nel suo generico punto \((t,t^2-4t)\), per cui deve essere\[-4=\left( 2t-4 \right)\left( 3-t \right)+{{t}^{2}}-4t\to {{t}^{2}}-6t+8=0\to \]\[\to {{t}_{1}}=2\quad \vee \quad {{t}_{2}}=4\to y=-4\quad \vee \quad y=4x-16\quad .\]Chiaramente, nel caso di una circonferenza o di altre curve chiuse che non sono il grafico di una funzione, si tratterà di suddividere la curva in archi che possano essere pensati come grafici di funzioni derivabili.
Massimo Bergamini