Ricevo da Sofia la seguente domanda:
Sia \(AC\) una corda di una semicirconferenza di diametro \(AB=2r\) e sia \(AD\) la bisettrice dell’angolo \(B\hat{A}C\). Indicate con \(C’\) e \(D’\) le proiezioni ortogonali di \(C\) e \(D\) su \(AB\), calcolare il limite del rapporto \((CD+C’D')/(CC’+DD’)\) al tendere di \(C\) (e quindi di \(D\)) a B.
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Sofia,
posto \(x=B\hat{A}D\), con \(0\le x\le \pi/4\), poichè\[CD=2r\sin x,\ C'D'=AD'-AC'=2r{{\cos }^{2}}x-2r{{\cos }^{2}}2x\] \[CC'=2r\cos 2x\sin 2x,\ DD'=2r\cos x\sin x\] si deve calcolare: \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x+{{\cos }^{2}}x-{{\cos }^{2}}2x}{\cos 2x\sin 2x+\cos x\sin x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x+1-{{\sin }^{2}}x-{{\left( 1-2{{\sin }^{2}}x \right)}^{2}}}{2\sin x\cos 2x+\cos x\sin x}=\]\[=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x\left( 1+3\sin x-4{{\sin }^{2}}x \right)}{\sin x\left( 2\cos 2x+\cos x \right)}=\frac{1}{3}\quad .\]
Massimo Bergamini