Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
come si risolve questo quesito?
Calcolare il volume del solido dato dall’intersezione del cono ottenuto ruotando il triangolo di vertici \((0,0,0)\), \((2,0,0)\), \((0,0,2)\) attorno all’asse \(z\), e del cilindro di asse \(\left\{ \left( 1,0,t \right):t\in \mathbb{R} \right\}\) e raggio \(1\).
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
con riferimento alla figura, possiamo pensare il solido in questione come definito dalle sue sezioni \({{S}_{x}}\left( y \right)\)perpendicolari all’asse \(x\), con \(0\le x\le 2\), sezioni che sono a loro volta ottenute come intersezione delle corrispondenti sezioni \(C{{o}_{x}}\) e \(C{{i}_{x}}\) del cono e del cilindro rispettivamente, essendo la prima il sottografico di un arco di iperbole \({{\gamma }_{x}}\) e la seconda un rettangolo appartenente al piano perpendicolare all’asse \(x\) nel punto di ascissa \(x\). Poiché la superficie del cono ha equazione cartesiana \[z=2-\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\quad 0\le y\le 2\] mentre la base della sezione rettangolare del cilindro nel punto di ascissa \(x\), cioè la corrispondente corda della circonferenza \({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=1\), definisce l’intervallo \(-\sqrt{2x-{{x}^{2}}}\le y\le \sqrt{2x-{{x}^{2}}}\), si conclude che il volume \(V\) del solido in questione è dato dal seguente integrale: \[V=\int\limits_{0}^{2}{\left( \int{{{S}_{x}}\left( y \right)dy} \right)dx=}\int\limits_{0}^{2}{\left( \int\limits_{-\sqrt{2x-{{x}^{2}}}}^{\sqrt{2x-{{x}^{2}}}}{\left( 2-\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right)dy} \right)dx\quad .}\] Poiché si ricava che \[\int\limits_{-\sqrt{2x-{{x}^{2}}}}^{\sqrt{2x-{{x}^{2}}}}{\left( 2-\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right)dy}=\left( 4-\sqrt{2x} \right)\sqrt{2x-{{x}^{2}}}-{{x}^{2}}\ln \frac{\sqrt{2x-{{x}^{2}}}+\sqrt{2x}}{\left| x \right|}\]si può ottenere, come limite per \(x\to 0\) (integrale improprio): \[V=\int\limits_{0}^{2}{\left( \left( 4-\sqrt{2x} \right)\sqrt{2x-{{x}^{2}}}-{{x}^{2}}\ln \frac{\sqrt{2x-{{x}^{2}}}+\sqrt{2x}}{\left| x \right|} \right)dx=}\]\[=2\pi -\frac{32}{9}\approx 2,7276\quad .\]
Massimo Bergamini