Ricevo da Anna Rita la seguente domanda:
Buongiorno Professore,
può darmi una mano nella risoluzione di questo problema.
È stata effettuata un’indagine statistica. Il \(37\%\) degli intervistati va in vacanza al mare, di questi il \(19\%\) ha meno di \(30\) anni. Inoltre il \(14\%\) degli intervistati ha un’età minore di \(30\) anni.
a) Sapendo che un intervistato ha meno di \(30\) anni, qual è la probabilità che egli vada in vacanza al mare? b) Sapendo che un intervistato ha più di \(30\) anni, qual è la probabilità che egli vada in vacanza al mare?
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Anna Rita,
possiamo ricavare dai dati in ipotesi un “albero” che riassume le probabilità coinvolte nel problema:
dove la probabilità \(p\left( non-mare\cap <30 \right)=0,0697\) è stata ottenuta per differenza tra \(p\left( <30 \right)=0,14\) e \[p\left( mare\cap <30\right)=p\left( mare \right)\cdot p\left( <30|mare \right)=0,37\cdot 0,19=0,0703\] e di conseguenza: \[p\left( <30|non-mare \right)=p\left( non-mare\cap <30 \right)/p\left( non-mare\right)=0,1106\quad .\]
Si possono ricavare le probabilità condizionate richieste, applicando il teorema di Bayes:
\[p\left( mare|<30 \right)=\frac{p\left( mare\cap <30 \right)}{p\left( <30 \right)}=\frac{0,0703}{0,14}=0,5021\] \[p\left( mare|>30 \right)=\frac{p\left( mare\cap >30 \right)}{p\left( >30 \right)}=\frac{0,2997}{0,86}=0,3485\quad .\]
Massimo Bergamini