Ricevo da Vittoria la seguente domanda:
Salve professore,
Le scrivo per avere una soluzione a questo problema:
Sulla semicirconferenza di diametro \(AB=2r\) è assegnato un punto \(Q\) tale che \(AQ+QB=\sqrt{6}r\). Quanto misura l’angolo \(Q\hat{A}B\)?
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Vittoria,
posto \(x=Q\hat{A}B\), si osserva facilmente che, essendo \(ABQ\) rettangolo di ipotenusa \(AB=2r\):\[AQ=2r\cos x\quad \quad QB=2r\sin x\] per cui la richiesta del problema equivale alla seguente equazione per \(0\le x\le \pi /2\):\[2r\left( \cos x+\sin x \right)=\sqrt{6}r\to \sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\] avendo utilizzato l’identità \(\cos x+\sin x=\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)\). Pertanto si ha: \[x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{3}\vee x+\frac{\pi }{4}=\frac{2}{3}\pi \to x=\frac{\pi }{12}\vee x=\frac{5}{12}\pi \]
soluzioni che corrispondono a due triangoli simmetrici rispetto all’asse del diametro \(AB\).
Massimo Bergamini