Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
la prego di aiutarmi con questi quesiti:
1) Da un punto \(B\) di una circonferenza traccia le corde \(AB\) e \(BC\) e congiungi il punto medio \(M\) dell’arco \(AB\) col punto medio \(N\) dell’arco \(BC\); la corda \(MN\) interseca le due corde in \(E\) e in \(F\). Dimostra che il triangolo \(BEF\) è isoscele sulla base \(EF\).
2) Dati una circonferenza di centro \(O\) e un suo arco \(AB\) traccia due angoli alla circonferenza che insistono su \(AB\) e poi disegna le bisettrici dei due angoli. Dimostra che tali bisettrici passano per il punto medio dell’arco \(AB\). Grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
con riferimento alle figure, nel primo caso la tesi discende dal fatto che i triangoli \(MEB\) e \(BFN\) sono simili, in quanto, in base al teorema che stabilisce la congruenza di angoli alla circonferenza che insistano, da una stessa parte, su archi congruenti, si deduce:\[A\hat{B}M\cong M\hat{N}B\quad \quad B\hat{M}N\cong N\hat{B}C\to M\hat{E}B\cong B\hat{F}N\] da cui \(B\hat{E}F\cong E\hat{F}B\), in quanto supplementari di angoli congruenti, e quindi la tesi.
Nel secondo caso, per ciascuna delle 
bisettrici si può necessariamente concludere, ragionando per assurdo, che, se tale bisettrice non intersecasse l’arco \(AB\) nel punto medio \(M\) ma in un altro punto \(M’\), esisterebbero due distinte bisettrici di uno stesso angolo (ad esempio \(M’C\) e \(MC\)) in quanto la congruenza degli archi \(AM\) e \(MB\) implica la congruenza degli angoli alla circonferenza corrispondenti: l’incongruenza di questa conclusione dimostra appunto che \(M’=M\), cioè la tesi.
Massimo Bergamini