Ricevo da Paola la seguente domanda:
Gentilissimo Professore,
potrebbe aiutarmi a risolvere il limite seguente (pag.1528, n.314, mod.U Matematica.blu 2.0):
\[\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 2x-\pi \right)\cos x}{x\left( 1-\sin x \right)}\quad ?\]
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Paola,
poniamo \(t=\frac{\pi }{2}-x\), da cui \(x=\frac{\pi }{2}-t\), \(\cos x=\sin t\), \(\sin x=\cos t\) e \(\underset{x\to \pi /2}{\mathop{\lim }}\,\equiv \underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\); pertanto, ricorrendo ad alcuni limiti notevoli, si ottiene: \[\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 2x-\pi \right)\cos x}{x\left( 1-\sin x \right)}=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{-4t\sin t}{\left( \pi -2t \right)\left( 1-\cos t \right)}=\]\[=-4\cdot \underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\left( \pi -2t \right)}\cdot \underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{t}^{2}}}{1-\cos t}\cdot \underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin t}{t}=-4\cdot \frac{1}{\pi }\cdot 2\cdot 1=-\frac{8}{\pi }\quad .\]
Massimo Bergamini