Ricevo da Filomena la seguente domanda:
Buonasera Professore,
non so proprio come risolvere questo problema:
Verificare l’uguaglianza applicando la definizione di limite:
\[\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{3}^{\frac{1}{x}}}=1\quad .\]
Grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Filomena,
il limite in questione è equivalente alla seguente coppia di limiti: \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{3}^{\frac{1}{x}}}=1\quad \quad \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{3}^{\frac{1}{x}}}=1\]che a loro volta esprimono sinteticamente le seguenti proposizioni:
\[\forall \varepsilon >0\ \exists {{M}_{\varepsilon }}>0:se\ x\in {{\mathbb{R}}_{0}}\wedge x>{{M}_{\varepsilon }}\Rightarrow \left| {{3}^{\frac{1}{x}}}-1 \right|<\varepsilon \]\[\forall \varepsilon >0\ \exists {{N}_{\varepsilon }}>0:se\ x\in {{\mathbb{R}}_{0}}\wedge x<-{{N}_{\varepsilon }}\Rightarrow \left| {{3}^{\frac{1}{x}}}-1 \right|<\varepsilon \quad .\]
Si tratta quindi, in entrambi i casi, di risolvere il seguente sistema: \[\left\{ \begin{array}{ll} {{3}^{\frac{1}{x}}}-1<\varepsilon \\ {{3}^{\frac{1}{x}}}-1>-\varepsilon \end{array} \right.\] \[\left\{ \begin{array}{ll}\frac{1}{x}<{{\log }_{3}}\left( 1+\varepsilon \right) \\ \frac{1}{x}>{{\log }_{3}}\left( 1-\varepsilon \right) \\ \end{array} \right.\] \[\left\{ \begin{array}{ll}\frac{1-x{{\log }_{3}}\left( 1+\varepsilon \right) }{x}<0 \\ \frac{1-x{{\log }_{3}}\left( 1-\varepsilon \right) }{x}>0\\ \end{array} \right.\] La prima delle due disequazioni è risolta per \(x<0\vee x>\frac{1}{{{\log }_{3}}\left( 1+\varepsilon \right)}\), mentre la seconda, tenendo conto che \({{\log }_{3}}\left( 1-\varepsilon \right)<0\), è risolta per \(x<\frac{1}{{{\log }_{3}}\left( 1-\varepsilon \right)}\vee x>0\), per cui, complessivamente, il sistema ha le seguenti soluzioni: \[x<\frac{1}{{{\log }_{3}}\left( 1-\varepsilon \right)}\vee x>\frac{1}{{{\log }_{3}}\left( 1+\varepsilon \right)}\] e pertanto: nella verifica che \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{3}^{\frac{1}{x}}}=1\) si considera \({{M}_{\varepsilon }}=\frac{1}{{{\log }_{3}}\left( 1+\varepsilon \right)}\), mentre nella verifica che \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{3}^{\frac{1}{x}}}=1\) si considera \(-{{N}_{\varepsilon }}=\frac{1}{{{\log }_{3}}\left( 1-\varepsilon \right)}\).
Si noti che i valori assoluti di \({{M}_{\varepsilon }}\) e \({{N}_{\varepsilon }}\) sono tanto più “vicini a infinito” quanto più \(\varepsilon\) è vicino a \(0\).
Massimo Bergamini
