Ricevo da Ferdinando la seguente domanda:
Gentile professore,
mi dà un aiuto nell’ impostare questo problema?
Data la semicirconferenza di diametro \(AB=2\), condurre le corde \(AC\) e \(BD\) tali che risulti: \(B\hat{A}C=2D\hat{B}A=2x\) e indicare con \(M\) il loro punto d’intersezione. Studiare e tracciare il grafico della funzione: \[f\left( x \right)=\frac{AB}{2AM}+3\frac{DB}{MB}\]
indicando l’arco che si riferisce al problema.
Grazie.
Gli rispondo così: 
Caro Ferdinando,
notiamo innanzitutto che, affinchè le corde \(AC\) e \(BD\) si intersechino, si deve avere \(3x\le \pi/2\), cioè \(0<x\le \pi/6\), quindi, utilizzando il teorema dei seni:\[\frac{AB}{\sin \left( \pi -3x \right)}=\frac{AM}{\sin x}=\frac{MB}{\sin 2x}\to AM=\frac{2\sin x}{\sin 3x},MB=\frac{2\sin 2x}{\sin 3x}\] per cui:
\[f\left( x \right)=\frac{\sin 3x}{2\sin x}+3\frac{\cos x\sin 3x}{\sin 2x}=\frac{2\sin 3x}{\sin x}\]
avendo utilizzato l’identità \(\sin 2x=2\sin x\cos x\), e infine, utlizzando le identità \(\sin 3x=2\sin x\cos^x +\cos 2x\sin x\) e 
\(2\cos^ x=1+\cos 2x\), si ha: \[f\left( x \right)=4{{\cos }^{2}}x+2\cos 2x=4\cos 2x+2\quad 0<x\le \frac{\pi }{6}\quad .\]
Massimo Bergamini