Ricevo da Stefania la seguente domanda:
Caro professore,
mi aiuta a calcolare questi integrali (n°410, 414, 420 pagW62, Corso base blu di Matematica Vol 5)?
\[\int{\frac{{{x}^{2}}+8x+18}{{{x}^{2}}+6x+9}dx\quad }\int{\frac{{{x}^{2}}-3x}{{{x}^{2}}-6x+8}dx\quad }\int{\frac{2{{x}^{2}}+2}{{{x}^{2}}+{{x}^{2}}-x-1}dx}\quad .\]
Grazie!
Le rispondo così:
Cara Stefania,
poichè
\[\frac{{{x}^{2}}+8x+18}{{{x}^{2}}+6x+9}=\frac{\left( {{x}^{2}}+6x+9 \right)+\left( 2x+6 \right)+3}{{{x}^{2}}+6x+9}=1+\frac{2x+6}{{{x}^{2}}+6x+9}+\frac{3}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}\]il primo integrale risulta:
\[\int{\frac{{{x}^{2}}+8x+18}{{{x}^{2}}+6x+9}dx}=x+\ln {{\left( x+3 \right)}^{2}}-\frac{3}{x+3}+c\quad .\]
Nel secondo caso, poichè\[\frac{{{x}^{2}}-3x}{{{x}^{2}}-6x+8}=\frac{{{x}^{2}}-6x+8+\frac{3}{2}\left( 2x-6 \right)+1}{{{x}^{2}}-6x+8}=1+\frac{3}{2}\frac{2x-6}{{{x}^{2}}-6x+8}-\frac{1}{2\left( x-2 \right)}+\frac{1}{2\left( x-4 \right)}\]l’integrale risulta: \[\int{\frac{{{x}^{2}}-3x}{{{x}^{2}}-6x+8}dx}=x+\frac{3}{2}\ln \left| \left( x-2 \right)\left( x-4 \right) \right|-\frac{1}{2}\ln \left| \left( x-2 \right) \right|+\frac{1}{2}\ln \left| \left( x-4 \right) \right|+c=\]\[=x+\ln \left| x-2 \right|+\ln {{\left( x-4 \right)}^{2}}+c\quad .\]
Nel terzo caso, cerchiamo \(A\), \(B\) e \(C\) tali che \[\frac{2{{x}^{2}}+2x}{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\to \]\[\to A+B=2\wedge 2A+C=0\wedge A-B-C=2\to A=1,B=1,C=-2\]da cui \[\int{\frac{2{{x}^{2}}+2}{{{x}^{2}}+{{x}^{2}}-x-1}dx}=\int{\frac{1}{x-1}dx+}\int{\frac{1}{x+1}dx-2}\int{\frac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}dx=}\]\[=\ln \left| x-1 \right|+\ln \left| x+1 \right|+\frac{2}{x+1}+c\quad .\]
Massimo Bergamini