Ricevo da Jessica la seguente domanda:
Gentile professore,
sto risolvendo la seguente disequazione (Manuale blu di matematica 2.0, pag.614, n.680):
\[3\left( {{\log }_{3}}x+{{\log }_{x}}3 \right)\ge 10\]
ma non capisco, nella soluzione proposta, perchè \(x\) debba essere maggiore di \(1\).
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Jessica,
poste le condizioni \(x>0\wedge x\neq 1\), la disequazione risulta equivalente alla seguente disequazione fratta:
\[3\left( {{\log }_{3}}x+\frac{1}{{{\log }_{3}}x} \right)\ge 10\to \frac{3\log _{3}^{2}x-10{{\log }_{3}}x+3}{{{\log }_{3}}x}\ge 0\] il cui numeratore è positivo o nullo per \(0<x<1\vee 1<x\le \sqrt[3]{3}\vee x\ge 27\), negativo per \(\sqrt[3]{3}<x<27\), mentre il denominatore è positivo per \(x>1\), negativo per \(0<x<1\), per cui l’insieme soluzione della disequazione è dato da: \[1<x\le \sqrt[3]{3}\vee x\ge 27\quad .\]
Massimo Bergamini