Ricevo da Calogero la seguente domanda:
Salve, non so risolvere questo limite (n.138 pag. 1520 Manuale Blu 2.0 di matematica):
\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{{{x}^{3}}+x}-\sqrt[3]{{{x}^{3}}-x}}{x}\]
Grazie mille.
Gli rispondo così:
Caro Calogero,
il numeratore della frazione algebrica si presenta come una forma indeterminata del tipo \(+\infty-\infty\), ma è sufficiente “raccogliere” fuori dalle radici i fattori di grado maggiore per ottenere una semplificazione immediata dell’espressione e del relativo limite:
\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{{{x}^{3}}+x}-\sqrt[3]{{{x}^{3}}-x}}{x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{{{x}^{3}}\left( 1+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}-\sqrt[3]{{{x}^{3}}\left( 1-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}}{x}=\]\[=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( \sqrt[3]{1+\frac{1}{{{x}^{2}}}}-\sqrt[3]{1-\frac{1}{{{x}^{2}}}} \right)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt[3]{1+\frac{1}{{{x}^{2}}}}-\sqrt[3]{1-\frac{1}{{{x}^{2}}}} \right)=\]\[=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[3]{1+\frac{1}{{{x}^{2}}}}-\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[3]{1-\frac{1}{{{x}^{2}}}}=\sqrt[3]{1+\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{x}^{2}}}}-\sqrt[3]{1-\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{x}^{2}}}}=\]\[=\sqrt[3]{1+0}-\sqrt[3]{1-0}=1-1=0\quad .\]
Massimo Bergamini