Ricevo da Vittoria la seguente domanda:
Caro Professore,
non riesco a risolvere questo problema:
E’ dato il quadrato \(ABCD\) di lato \(a\). Una semiretta di origine \(A\), interna all’angolo \(C\hat{A}D\), incontra la retta \(BC\) in un punto \(E\), la cui proiezione sulla retta \(AD\) è \(F\). Scelto sul lato \(BC\) il punto \(T\) tale che risultino gli angoli \(T\hat{A}C=E\hat{A}F\), considera il punto \(P\) comune alle rette \(AT\) e \(FE\). Determina l’ampiezza dell’angolo \(E\hat{A}F\) in modo che sia verificata la relazione \(PF-(\sqrt{3}-1)AF=(2+\sqrt{3})AD\).
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Vittoria,
con riferimento alla figura, osserviamo che: \[AF=\frac{EF}{\tan x}=\frac{a}{\tan x}\] \[PF=AF\tan \left( \frac{\pi }{4}+x \right)=\frac{a\left( 1+\tan x \right)}{\tan x\left( 1-\tan x \right)}\] per cui l’equazione richiesta, posto che \(0<x<\pi/4\), risulta, dopo le opportune semplificazioni: \[\left( 2+\sqrt{3} \right){{\tan }^{2}}x-2\tan x+2-\sqrt{3}=0\to {{\left( \tan x-\left( 2-\sqrt{3} \right) \right)}^{2}}=0\to \tan x=2-\sqrt{3}\] cioè \[x=\frac{\pi }{12}\quad .\]
Massimo Bergamini