Area sottesa da un arco di ipocicloide

Ricevo da Elisa la seguente domanda:
 
Caro professore,
come si calcola l’area del sottografico dell’arco di ipocicloide
\[x=3\cos \vartheta +2\cos \frac{3}{2}\vartheta ,\quad y=3\sin \vartheta -2\sin \frac{3}{2}\vartheta \quad \quad 0\le \vartheta \le \frac{2}{5}\pi \quad ?\]
Grazie.
 
Le rispondo così:
 
Cara Elisa,
data una curva regolare di equazioni parametriche \(x(t)\), \(y(t)\) nell’intervallo \(t\in [a,b]\), l’area \(S\) della regione di piano compresa tra il grafico della curva e le rette \(x=x(a)\), \(x=x(b)\), \(y=0\) è data dall’integrale \[S=\left| \int\limits_{a}^{b}{y\left( t \right)\dot{x}\left( t \right)dt} \right|\] dove, come al solito, si intende \(\dot{x}=\frac{dx}{dt}\); il valore assoluto può essere eliminato se si ha l’accortezza di scambiare l’ordine degli estremi \(a\) e \(b\) nel caso la parametrizzazione “proceda” nel verso opposto a quello delle \(x\) crescenti. Quindi, nel nostro caso:
\[S=\int\limits_{2\pi /5}^{0}{\left( 3\sin \vartheta -2\sin \frac{3}{2}\vartheta  \right)}\left( -3\sin \vartheta -3\sin \frac{3}{2}\vartheta  \right)d\vartheta =\] \[=-9\int\limits_{2\pi /5}^{0}{{{\sin }^{2}}\vartheta d\vartheta }+6\int\limits_{2\pi /5}^{0}{{{\sin }^{2}}\frac{3}{2}\vartheta d\vartheta }-3\int\limits_{2\pi /5}^{0}{\sin \vartheta \sin \frac{3}{2}\vartheta d\vartheta }=\]\[=\frac{9}{5}\pi -\frac{9}{4}\sin \frac{4}{5}\pi -\frac{6}{5}\pi +\sin \frac{6}{5}\pi +\frac{12}{5}\left( \cos \frac{2}{5}\pi \sin \frac{3}{5}\pi -\frac{3}{2}\sin \frac{2}{5}\pi \cos \frac{3}{5}\pi  \right)=\]\[=\frac{3}{5}\pi -\frac{1}{4}\sin \frac{\pi }{5}=\frac{3}{5}\pi -\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{16}\approx 1,738\quad .\]
Massimo Bergamini