Ricevo da Antonio la seguente domanda:
Salve professore,
avrei bisogno del suo aiuto con questi limiti…
Si calcolino, se esistono, tramite l’utilizzo di limiti notevoli, i seguenti limiti:
\[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( x\ln \left( 1+{{x}^{2}} \right)-2\left( {{e}^{x{{\sin }^{2}}x}}-1 \right) \right){{e}^{\frac{1}{x}}}\] \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin \left( {{x}^{3}} \right)+1-\cos \sqrt{\left| x \right|}}{\ln \left( 1+{{x}^{3}} \right)-\ln \left( 1-{{\sin }^{3}}x \right)}+\cos \left( \frac{1}{x\ln \left| x \right|} \right)\]\[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \left( 1+{{x}^{3}} \right)-1+\cos \sqrt{\left| x \right|}}{\ln \left( 1+{{x}^{3}} \right)-\ln \left( 1-{{\tan }^{3}}x \right)}+\sin \left( \frac{1}{x{{\ln }^{2}}\left| x \right|} \right)\]
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Antonio,
nel primo caso possiamo operare così:
\[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( x\ln \left( 1+{{x}^{2}} \right)-2\left( {{e}^{x{{\sin }^{2}}x}}-1 \right) \right){{e}^{\frac{1}{x}}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{\ln \left( 1+{{x}^{2}} \right)}{{{x}^{2}}}-2\frac{\left( {{e}^{x{{\sin }^{2}}x}}-1 \right)}{x{{\sin }^{2}}x}\frac{{{\sin }^{2}}x}{{{x}^{2}}} \right)\frac{{{e}^{1/x}}}{1/{{x}^{3}}}=\]
\[=\left( 1-2 \right)\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{1/x}}}{1/{{x}^{3}}}=\left\{ \begin{array}{ll} +\infty \ se\ x\to {{0}^{+}} \\ 0\quad se\ x\to {{0}^{-}} \\ \end{array} \right.\] quindi il limite per \(x \to 0\) non esiste.
Nel secondo e nel terzo caso i secondi addendi sono funzioni oscillanti nel limite considerato (il loro argomento tende a \(\pm\infty\) in quanto reciproco di un infinitesimo) ma comunque limitate (tra \(-1\) e \(1\)), quindi irrilevanti se sommate a funzioni che costituiscano degli infiniti nel limite considerato, ed è proprio quanto si verifica in entrambi i casi:\[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin \left( {{x}^{3}} \right)+1-\cos \sqrt{\left| x \right|}}{\ln \left( 1+{{x}^{3}} \right)-\ln \left( 1-{{\sin }^{3}}x \right)}=\]\[=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}\sin \left( {{x}^{3}} \right)\left( 1+\frac{\left| x \right|}{{{x}^{3}}}\left( \left( 1-\cos \sqrt{\left| x \right|} \right)/\left| x \right| \right)/\left( \sin \left( {{x}^{3}} \right)/{{x}^{3}} \right) \right)}{{{x}^{3}}\ln \left( 1+{{x}^{3}} \right)\left( \operatorname{l}-\ln \left( 1-{{\sin }^{3}}x \right)/\ln \left( 1+{{x}^{3}} \right) \right)}=\]\[=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 1+\left| x \right|/{{x}^{3}} \right)}{\left( 1-0 \right)}=\left\{ \begin{array}{ll} +\infty \ se\ x\to {{0}^{+}} \\ -\infty\quad se\ x\to {{0}^{-}} \\ \end{array} \right.\] \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \left( 1+{{x}^{3}} \right)-1+\cos \sqrt{\left| x \right|}}{\ln \left( 1+{{x}^{3}} \right)-\ln \left( 1-{{\tan }^{3}}x \right)}=\]\[=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 1-\frac{\left| x \right|}{{{x}^{3}}}\left( \left( 1-\cos \sqrt{\left| x \right|} \right)/\left| x \right| \right)/\left( \ln \left( 1+{{x}^{3}} \right)/{{x}^{3}} \right) \right)}{\left( \operatorname{l}-\ln \left( 1-{{\tan }^{3}}x \right)/\ln \left( 1+{{x}^{3}} \right) \right)}=\]
\[=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 1-\left| x \right|/{{x}^{3}} \right)}{\left( 1-0 \right)}=\left\{ \begin{array}{ll} -\infty \ se\ x\to {{0}^{+}} \\ +\infty\quad se\ x\to {{0}^{-}} \\ \end{array} \right.\] quindi anche in questo casi, essendo diverso il segno degli infiniti nei limiti unilaterali, diciamo che il limite per \(x \to 0\) non esiste.
Massimo Bergamini