Ricevo da Ettore la seguente domanda:
Caro professore,
dal suo libro:
Data la funzione \[f\left( x \right)={{\log }_{2}}\left( \left| x+a \right|+b \right)\]
a) determina \(a\) e \(b\) in modo che la funzione abbia dominio \(\mathbb{R}\) e il suo grafico passi per \((4,2)\) e \((0,1)\);
b) determina le intersezioni con gli assi;
c) disegna il grafico e utilizzalo per risolvere la disequazione \[\sqrt{x}+{{\log }_{2}}\left( \left| x-1 \right|+1 \right)\ge 1\quad .\]
Gli rispondo così:
Caro Ettore,
il passaggio del grafico per i punti assegnati implica: \[\left| 4+a \right|+b=4\quad \wedge \quad \left| a \right|+b=2\to \left| 4+a \right|+2-\left| a \right|=4\] e poichè l’ultima equazione ha come sola soluzione accettabile \(a=-1\), segue che \(b=1\) e la funzione assume l’espressione \(f\left( x \right)={{\log }_{2}}\left( \left| x-1 \right|+1 \right)\), che può riscriversi senza il valore assoluto in questo modo: \[f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} {{\log }_{2}}\left( x \right) \quad x\ge 1 \\ {{\log }_{2}}\left( 2-x \right) \quad x < 1 \end{array} \right.\]
Quindi, per \(x\ge 1\) il grafico coincide con quello di \({{\log }_{2}}x\), mentre per \(x < 1\) il grafico è il simmetrico del precedente rispetto all’asse \(x=1\): il grafico, sempre con ordinata non negativa, incontra l’asse \(x\) nel solo punto \(x=1\), mentre interseca l’asse \(y\) nel punto \((0,1)\). Poiché la funzione \[g\left( x \right)=1-\sqrt{x}\] ha un grafico deducibile da quello di 
\(\sqrt{x}\) per riflessione attraverso l’asse \(x\) seguita da traslazione di un’unità in senso \(y\), si osserva che il grafico di \(g(x)\) interseca gli assi negli stessi punti del grafico di \(f(x)\), e che quest’ultimo ha ordinata sempre maggiore o uguale del primo, cioè la disequazione\[{{\log }_{2}}\left( \left| x-1 \right|+1 \right)\ge 1-\sqrt{x}\]è sempre soddisfatta per ogni \(x\ge 0\), e così pure la disequazione di cui al punto c), ovviamente equivalente ad essa.
Massimo Bergamini
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Funzione logaritmica
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