Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
devo determinare con il criterio del confronto il carattere delle seguenti serie:
\[\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{1}{n+1}}\quad \quad \quad \quad \sum\limits_{n=2}^{+\infty }{\frac{\ln n}{\sqrt{{{n}^{2}}+n}}}\quad .\]
Quindi, devo dimostrare che la seguente serie \[\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\left( \sqrt{n}-2\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2} \right)}\]converge e devo determinarne la somma.
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
le prime due serie sono entrambe divergenti poiché il termine generale, sempre positivo, maggiora il termine generale di una serie divergente, che in entrambi casi è costituito da un multiplo del termine generale della serie armonica: \[\forall n\ge 1\Rightarrow 2n\ge n+1\ \Rightarrow \frac{1}{n+1}>\frac{1}{2n}=\left( \frac{1}{2} \right)\cdot \frac{1}{n}\]\[\forall n\ge 2\Rightarrow \sqrt{2{{n}^{2}}}>\sqrt{{{n}^{2}}+n}\wedge \ln n\ge \ln 2\Rightarrow \frac{\ln n}{\sqrt{{{n}^{2}}+n}}>\frac{\ln 2}{\sqrt{2}n}=\left( \frac{\ln 2}{\sqrt{2}} \right)\cdot \frac{1}{n}\quad .\]
Infine, l’ultima serie è convergente in quanto telescopica con termine generale infinitesimo, infatti: \[\sqrt{n}-2\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}=\left( \sqrt{n}-\sqrt{n+1} \right)-\left( \sqrt{n+1}-\sqrt{n+2} \right)={{b}_{n}}-{{b}_{n+1}}\]
per cui \[{{S}_{k}}=\sum\limits_{n=1}^{k}{\left( \sqrt{n}-2\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2} \right)}=\sum\limits_{n=1}^{k}{\left( {{b}_{n}}-{{b}_{n+1}} \right)={{b}_{1}}-{{b}_{2}}+{{b}_{2}}-...-{{b}_{k}}+{{b}_{k}}-{{b}_{k+1}}}={{b}_{1}}-{{b}_{k+1}}\]
e poiché\[{{S}_{\infty }}=\underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{S}_{k}}=\underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{b}_{1}}-{{b}_{k+1}} \right)=\underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 1-\sqrt{2}-\sqrt{k+1}+\sqrt{k+2} \right)=\]\[=1-\sqrt{2}+\underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -\sqrt{k+1}+\sqrt{k+2} \right)=1-\sqrt{2}+\underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k+2}} \right)=1-\sqrt{2}\]
la serie converge alla somma \({{S}_{\infty }}=1-\sqrt{2}\).
Massimo Bergamini
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Serie numeriche
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