Ricevo da Giovanna la seguente domanda:
Buonasera,
devo svolgere uno studio di una funzione, fino alla prima derivata, minimi e massimi, flessi; la funzione è:
\[f\left( x \right)=x-\sqrt{{{x}^{2}}+4x}\quad .\]
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Giovanna,
posto che la funzione è definita e continua in \(D_f=\left] -\infty ,-4 \right]\cup \left[ 0,+\infty \right[\), nulla in \(x=0\) e altrove sempre negativa, consideriamo i limiti agli infiniti:\[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( x-\sqrt{{{x}^{2}}+4x} \right)=-\infty -\infty =-\infty \] \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( x-\sqrt{{{x}^{2}}+4x} \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-4x}{x\left( 1+\frac{\left| x \right|}{x}\sqrt{1+4/x} \right)}=\frac{-4}{2}=-2\] da cui si deduce che il grafico di \(f(x)\) presenta un asintoto orizzontale, \(y=-2\), per \(x\) che tende a \(+\infty\). L’ordine di infinito di \(f(x)\) nel limite per \(x\) che tende a \(-\infty\) suggerisce l’esistenza in tale limite di un asintoto obliquo, infatti: \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x-\sqrt{{{x}^{2}}+4x}}{x}=1-\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| x \right|\sqrt{1+4/x}}{x}=1-\left( -1 \right)=2\]\[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( x-\sqrt{{{x}^{2}}+4x}-2x \right)=-\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}+4x}+x \right)=-\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{4x}{x\left( \frac{\left| x \right|}{x}\sqrt{{{x}^{2}}+4x}-1 \right)}=\frac{-4}{-2}=2\] per cui tale asintoto ha equazione \(y=2x+2\). Ricaviamo derivata prima e seconda di \(f(x)\):
\[f'\left( x \right)=\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+4x}-x-2}{\sqrt{{{x}^{2}}+4x}}\quad \quad f''\left( x \right)=\frac{4}{{{\left( {{x}^{2}}+4x \right)}^{3/2}}}\quad .\]
Poichè risulta \(f’(x)<0\) e \(f’’(x)>0\) per \(x>0\), \(f’(x)>0\) e \(f’’(x)>0\) per \(x<-4\), mentre in \(x=-4\) e \(x=0\) la derivata tende ad assumere valore \(+\infty\) e \(-\infty\) rispettivamente, concludiamo che la funzione non presenta massimi e minimi locali “regolari”, è monotona crescente per \(x<-4\), monotona decrescente per \(x>0\), ha concavità sempre verso l’alto e in \(x=-4\) e \(x=0\) presenta punti a tangente verticale: tali punti possono essere considerati come massimi locali (non “regolari”) per \(f(x)\) (\(x=0\) è anche massimo assoluto). 
Si può osservare che il grafico della funzione poteva essere dedotto anche dallo studio della relazione \(y=x-\sqrt{{{x}^{2}}+4x}\), riscritta come \(x-y=\sqrt{{{x}^{2}}+4x}\), cioè come il luogo \(2xy-{{y}^{2}}-4x=0\wedge y\le x\), intersezione tra il semipiano \(y\le x\) e l’iperbole roto-traslata di equazione \(2xy-{{y}^{2}}-4x=0\).
Massimo Bergamini