Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Professore,

la prego mi aiuti a risolvere questi problemi:

1) In un triangolo rettangolo \(ABC\) rettangolo in \(B\) il cateto \(B\) è lungo \(4\:cm\). Determina l’ampiezza dell’angolo di vertice \(A\) in modo che il volume del solido che si ottiene facendo ruotare il triangolo di una rotazione completa attorno ad una retta parallela al lato \(BC\) e a distanza \(3\:cm\) da esso sia uguale a \(\frac{208\left( 2-\sqrt{3} \right)}{3}\pi \ c{{m}^{3}}\).  

Il volume di un parallelepipedo a base quadrata è \(3456\;cm^3\) e di esso si sa che l’altezza è doppia dello spigolo di base. Un piano inclinato di \(30^\circ\) rispetto al piano di base in modo che il poligono sezione sia un rettangolo lo divide in due solidi i cui volumi sono in rapporto \(\left( 4+\sqrt{3} \right)/\left( 8+\sqrt{3} \right)\). Calcola le superfici totali dei due solidi che si ottengono.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

nel primo caso, con riferimento alla figura, osserviamo che, detto \(\alpha\) l’angolo nel vertice \(A\), si ha \(BC=4\tan\alpha\), e che il solido ottenuto dalla rotazione è un tronco di cono di raggi \(AE=7\;cm\), \(CF=3\;cm\) e altezza \(4\tan\alpha\;cm\) privato del cilindro di raggio \(CF=3\;cm\) e altezza \(4\tan\alpha\;cm\), per cui si ha: \[\frac{4}{3}\pi \tan \alpha \left( 9+21+49-27 \right)=\frac{208}{3}\pi \left( 2-\sqrt{3} \right)\to \]\[\to \tan \alpha =2-\sqrt{3}\to \alpha =15{}^\circ \quad .\]

Nel secondo caso, con riferimento alla figura, si ricava subito che, detto \(AB=L\) il lato della base, si deve avere \(2L^3=3456\), da cui \(L=12\;cm\) e \(AE=24\;cm\), per cui, detto \(V_1\) il volume del prisma \(ABCDJLMN\) e \(V_2=3456-V_1\) il volume del prisma complementare \(EFGHJLMN\), si ha pure: \[\frac{3456-{{V}_{1}}}{{{V}_{1}}}=\frac{8-\sqrt{3}}{4+\sqrt{3}}\to {{V}_{1}}=288\left( 4+\sqrt{3} \right)\quad .\] Poiché, posto \(BL=x\), si ha \({{V}_{1}}=144\left( x+4\sqrt{3} \right)\), ne consegue \(x=2\left( 4-\sqrt{3} \right)\,cm\), e da questa misura consegue la possibilità di ricavre le superfici \(S_1\) e \(S_2\) dei due solidi, sommando le aree delle varie facce:

  \[{{S}_{1}}=48\left( 11+2\sqrt{3} \right)\,c{{m}^{2}}\]\[{{S}_{2}}=48\left( 19-2\sqrt{3} \right)\,c{{m}^{2}}\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Andrea la seguente domanda:

Gentilissimo professore, volevo porle un quesito:

Immaginiamo di avere 2 urne di cui la prima con 30 palline nere, la seconda con 10 rosse e 5 bianche. Poniamo che io sia bendato e che quindi non possa sapere da quale urna estraggo. Pertanto che probabilità avrei di estrarre una pallina bianca?

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Andrea,

possiamo pensare all’evento \(E=\)“estraggo una pallina bianca” come unione di due eventi disgiunti, ciascuno formato dall’intersezione di due eventi che si condizionano: \(E_1=\)“scelgo la prima urna et estraggo una pallina bianca” o \(E_2=\)“scelgo la seconda urna et estraggo una pallina bianca”: la probabilità \(p(E)\) è quindi data dalla somma di due prodotti, in simboli: \[p\left( E \right)=p\left( {{E}_{1}} \right)+p\left( {{E}_{2}} \right)=p\left( {{U}_{1}} \right)\cdot p\left( B|{{U}_{1}} \right)+p\left( {{U}_{2}} \right)\cdot p\left( B|{{U}_{2}} \right)\] dove \(p(U_1)\) e \(p(U_2)\) indicano rispettivamente la probabilità di scegliere la prima urna e la probabilità di scegliere la seconda urna, mentre \(p\left( B|{{U}_{1}} \right)\) e \(p\left( B|{{U}_{2}} \right)\) indicano rispettivamente le probabilità (condizionate) di estrarre bianca sapendo di estrarre dalla prima urna e di estrarre bianca sapendo di estrarre dalla seconda urna. Supponendo che la scelta dell’urna sia casuale, si ha:   \[p\left( {{U}_{1}} \right)=p\left( {{U}_{2}} \right)=\frac{1}{2},\ p\left( B|{{U}_{1}} \right)=0,\ p\left( B|{{U}_{2}} \right)=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}\to \]\[\to p\left( E \right)=\frac{1}{2}\cdot 0+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Lucia la seguente domanda:

Egregio professore,

ho qualche difficoltà con questi problemi (pag.1995, nn. 599, 600, 601, 603, Matematica.blu 2.0 V).

1) Individua l’intersezione \(A\) con l’asse delle ascisse della curva di equazione \(y=\frac{x-1}{{{\left( {{x}^{2}}-2x \right)}^{2}}}\). Determina la primitiva \(y=f(x)\) della funzione data passante per il punto di coordinate \(\left( 1;-\frac{1}{2} \right)\). Studia e rappresenta graficamente \(y=f(x)\) e verifica, spiegandone i motivi, che il suo estremo relativo ha la stessa ascissa di \(A\).

2) Data la funzione \(f(x)=3x^2-x\), determina fra le sue primitive \(F(x)\) quella che ha il punto di massimo di ordinata \(2\).

3) Trova la primitiva della funzione \(f(x)=x^2-2x+1\) che ha un flesso di ordinata \(\frac{4}{3}\).

4) Tra le primitive di \(f(x)=\frac{1}{{{e}^{x}}+1}\) individua quella il cui grafico passa per \(A(0;-\ln 2)\). Rappresenta graficamente la funzione trovata. Determina l’equazione della retta tangente alla curva rappresentata nel suo punto di ascissa \(0\).

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Lucia,

nel primo caso si ha \(A(1;0)\), e le primitive della funzione sono date dal seguente integrale indefinito:

\[\int{\frac{x-1}{{{x}^{2}}{{\left( x-2 \right)}^{2}}}dx=-\frac{1}{4}}\int{\frac{1}{{{x}^{2}}}dx+}\frac{1}{4}\int{\frac{1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}dx}=\]\[=\frac{1}{4x}-\frac{1}{4\left( x-2 \right)}=-\frac{1}{2x\left( x-2 \right)}+c\] per cui la primitiva che soddisfa la condizione richiesta è \[f\left( x \right)=-\frac{1}{2x\left( x-2 \right)}-1\quad .\] Poiché per definizione \[f'\left( x \right)=\frac{x-1}{{{x}^{2}}{{\left( x-2 \right)}^{2}}}\] si ha che \(f’\left( x \right)=0\) se e solo se \(x=1\), che rappresenta un minimo relativo per la funzione \(f(x)\).

Nel secondo caso, posto che le primitive sono le seguenti: \[F\left( x \right)=\int{\left( 3{{x}^{2}}-x \right)dx={{x}^{3}}-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+c}\] e che \(F’\left( x \right)=3{{x}^{2}}-x\), osserviamo che \(x=0\) rappresenta il punto di massimo relativo per \(F(x)\), quindi la richiesta è soddisfatta se e solo se \(c=2\), cioè dalla primitiva \(F\left( x \right)={{x}^{3}}-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+2\).

Nel terzo caso, posto che  \[F\left( x \right)=\int{\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)dx=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+x+c}\] e dato che \(F”\left( x \right)=2x-2\), si ha un flesso in corrispondenza a \(x=1\), pertanto la richiesta è soddisfatta se e solo se \(c=1\), cioè dalla primitiva \(F\left( x \right)=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+x+1\).

Infine, nell’ultimo caso le primitive, posto \(t={{e}^{x}}+1\), cioè \(x=\ln(t-1)\), sono le seguenti: \[\int{\frac{1}{{{e}^{x}}+1}}\,dx=\int{\frac{1}{t\left( t-1 \right)}}\,dt=\]\[=-\ln t+\ln \left( t-1 \right)+c=-\ln \left( \frac{t}{t-1} \right)+c=\]\[=-\ln \left( 1+{{e}^{-x}} \right)+c\] per cui quella cercata corrisponde a \(c=0\), cioè \(F\left( x \right)=-\ln \left( 1+{{e}^{-x}} \right)\). La funzione è monotona crescente, con asintoto obliquo la retta \(y=x\) e asintoto orizzontale l’asse \(x\). Poiché \(F’\left( 0 \right)=\frac{1}{2}\), la tangente nell’origine è la retta \(y=\frac{1}{2}x-\ln 2\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Leonardo la seguente domanda:

Gentilissimo professore,

non riesco a risolvere questo problema:

Sia dato il cubo \(ABCDA’B'C’D'\), dove gli spigoli laterali misurano \(12a\). Sugli spigoli \(AB\) e \(AD\) si prendano rispettivamente i punti \(M\) e \(N\) tali che i segmenti \(AM\) e \(AN\) siano congruenti. Siano \(M’\) e \(N’\) le proiezioni di \(M\) e \(N\) sulla base \(A’B'C’D'\). Quale deve essere la misura di \(AM\) affinché il prisma retto \(AMNA’M'N’\) abbia l’area della superficie totale che misura \((256+96\sqrt{2})a^2\)?

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Leonardo,

posto \(x=AM\), con \(0<x\le 12a\), si ha l’equazione: \[{{x}^{2}}+12a\left( \sqrt{2}+2 \right)x-\left( 256+96\sqrt{2} \right){{a}^{2}}=0\] da cui, tralasciando la soluzione negativa: \[x=-6a\left( \sqrt{2}+2 \right)+a\sqrt{472+240\sqrt{2}}=\]\[=-6\sqrt{2}a-12a+2a\sqrt{118+60\sqrt{2}}=\]\[=-6\sqrt{2}a-12a+2a\sqrt{{{\left(10+3\sqrt{2} \right)}^{2}}}=\] \[=-6\sqrt{2}a-12a+2a\left( 10+3\sqrt{2} \right)=8a\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Professore,

la prego mi aiuti a risolvere questo problema:

Sia \(ABC\) un triangolo equilatero di lato \(l\). Traccia per il vertice \(B\) la retta perpendicolare al piano del triangolo e prendi su di essa un punto \(V\) in modo che l’angolo \(V\hat{A}B\) sia \(30^\circ\). Calcola il volume e l’area della superficie totale della piramide che si ottiene congiungendo i vertici del triangolo con \(V\). Inoltre, trova il raggio della sfera inscritta e circoscritta alla piramide e i volumi delle due sfere.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

con riferimento alla figura, osserviamo che le facce \(AVB\) e \(CVB\) della piramide sono triangoli rettangoli congruenti, col cateto \(VB=\frac{l}{\sqrt{3}}\) in comune, e le ipotenuse \(AV=CV=\frac{2l}{\sqrt{3}}\). Pertanto: \[{{V}_{ABCV}}=\frac{1}{3}{{S}_{ABC}}\cdot VB=\frac{1}{3}\frac{\sqrt{3}}{4}{{l}^{2}}\cdot \frac{l}{\sqrt{3}}=\frac{1}{12}{{l}^{3}}\] \[{{S}_{ABV}}={{S}_{CBV}}=\frac{\sqrt{3}}{6}{{l}^{2}}\quad {{S}_{ACV}}=\frac{\sqrt{39}}{12}{{l}^{2}}\quad {{S}_{ABC}}=\frac{\sqrt{3}}{4}{{l}^{2}}\to \]\[\to {{S}_{ABCV}}=\frac{\sqrt{3}\left( 7+\sqrt{13} \right)}{12}{{l}^{2}}\quad .\]

Il raggio \(r\) della sfera inscritta nella piramide si può ricavare dalla formula \[r=\frac{3{{V}_{ABCV}}}{{{S}_{ABCV}}}=\frac{3}{12}\frac{12}{\sqrt{3}\left( 7+\sqrt{13} \right)}l=\frac{\sqrt{3}\left( 7-\sqrt{13} \right)}{36}l\quad .\]

Il raggio \(R\) della sfera circoscritta si può ricavare a partire dal centro \(G\) di tale sfera, che si trova all’intersezione dei piani-asse degli spigoli della piramide. Riferendo la piramide ad un sistema di assi \(Oxyz\) in cui sia \(A(0,0,0)\), \(B(0,l,0)\), \(C(0,l/2,\sqrt{3}l/2)\), \(V(\sqrt{3}l/3,l,0)\), si ha che il piano-asse di \(AV\) incontra il piano-asse di \(AB\) nella retta perpendicolare al piano \(xy\) passante per il punto medio di \(AV\), cioè la retta dei punti \(P(\sqrt{3}l/6,l/2,t)\), al variare del parametro reale \(t\). Imponendo che \(P\) equidisti anche, ad esempio, da \(A\) e da \(C\), si ha:             \[\frac{1}{12}{{l}^{2}}+\frac{1}{4}{{l}^{2}}+{{t}^{2}}=\frac{1}{12}{{l}^{2}}+{{\left( \frac{\sqrt{3}}{2}l-t \right)}^{2}}\to \]\[\to t=\frac{\sqrt{3}}{6}l\to G\left( \frac{\sqrt{3}}{6}l,\frac{1}{2}l,\frac{\sqrt{3}}{6}l \right)\]

e quindi: \[R=GA=\frac{\sqrt{15}}{6}l\quad .\] I volumi delle due sfere si ricavano di conseguenza.

 Massimo Bergamini

Ricevo da Lucia la seguente domanda:

Caro professore,

mi aiuterebbe con questi integrali? (p.1978, nn. 328, 330, 334, 343, 344, Matematica.blu 2.0)

\[\int{\frac{1}{\sqrt{4{{x}^{2}}-2}}dx\quad }\int{\frac{3}{2\sqrt{x}+x\sqrt{x}}dx\quad }\int{\frac{\sqrt{8-2{{x}^{2}}}}{\sqrt{2}}dx}\] \[\int{\frac{\sqrt{9-36{{x}^{2}}}}{2}dx\quad }\int{\frac{\sqrt{1-4{{x}^{2}}}}{{{x}^{2}}}dx}\]

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Lucia,

nel primo caso operiamo la sostituzione \(\sqrt{4{{x}^{2}}-2}=t-2x\), cioè \(x=\frac{{{t}^{2}}+2}{4t}\), da cui: \[dx=\frac{{{t}^{2}}-2}{4{{t}^{2}}}dt\quad \quad \sqrt{4{{x}^{2}}-2}=t-2x=\frac{{{t}^{2}}-2}{2t}\] e pertanto (tenendo presente che ogni addendo costante può essere “inglobato” nella costante \(c\)): \[\int{\frac{1}{\sqrt{4{{x}^{2}}-2}}dx}=\int{\frac{2t}{{{t}^{2}}-2}\frac{{{t}^{2}}-2}{4{{t}^{2}}}dt=\frac{1}{2}\int{\frac{1}{t}}}dt=\frac{1}{2}\ln \left| t \right|+c=\]\[=\frac{1}{2}\ln \left| \sqrt{4{{x}^{2}}+2}+2x \right|+c=\frac{1}{2}\ln \sqrt{2}\left| \sqrt{2{{x}^{2}}+1}+\sqrt{2}x \right|+c=\]\[=\ln \sqrt{\left| \sqrt{2{{x}^{2}}+1}+\sqrt{2}x \right|}+\frac{1}{2}\ln \sqrt{2}+c=\ln \sqrt{\left| \sqrt{2{{x}^{2}}+1}+\sqrt{2}x \right|}+c\quad .\]

Nel secondo caso, la sostituzione opportuna è \(t=\sqrt{x}\), cioè \(x={{t}^{2}}\), \(dx=2tdt\), da cui:

\[\int{\frac{3}{2\sqrt{x}+x\sqrt{x}}dx=}\int{\frac{6}{2+{{t}^{2}}}dt=}\]\[=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\int{\frac{1}{1+{{\left( t/\sqrt{2} \right)}^{2}}}dt}=3\sqrt{2}\arctan \left( \frac{\sqrt{2x}}{2} \right)+c\quad .\]

Nel terzo caso, la sostituzione opportuna è \(\sin t=\frac{x}{2}\), cioè \(dx=2\cos t dt\), da cui: \[\int{\frac{\sqrt{8-2{{x}^{2}}}}{\sqrt{2}}dx}=2\int{\sqrt{1-{{\left( \frac{x}{2} \right)}^{2}}}}dx=4\int{{{\cos }^{2}}t\,dt}=\]\[=2\int{\left( 1+\cos 2t \right)\,dt}=2t+\sin 2t+c=\]\[=2t+2\sin t\cos t+c=2\arcsin \frac{x}{2}+\frac{x\sqrt{4-{{x}^{2}}}}{2}+c\quad .\]

Nel quarto caso, analogamente al precedente, la sostituzione opportuna è \(\sin t=2x\), cioè \(2dx=\cos t dt\), da cui: \[\int{\frac{\sqrt{9-36{{x}^{2}}}}{2}dx}=\frac{3}{4}\int{\sqrt{1-{{\left( 2x \right)}^{2}}}}dx=\frac{3}{4}\int{{{\cos }^{2}}tdt}=\] \[=\frac{3}{8}\int{\left( 1+\cos 2t \right)dt}=\frac{3}{8}t+\frac{3}{4}\sin t\cos t+c=\] \[=\frac{3}{8}\arcsin \left( 2x \right)+\frac{3x\sqrt{1-4{{x}^{2}}}}{4}+c\quad .\]

Anche nell’ultimo caso poniamo \(2x=\sin t\), e quindi \(2dx=\cos t dt\), da cui:

\[\int{\frac{\sqrt{1-4{{x}^{2}}}}{{{x}^{2}}}dx}=2\int{\frac{{{\cos }^{2}}t}{{{\sin }^{2}}t}dt}=2\int{\frac{1-{{\sin }^{2}}t}{{{\sin }^{2}}t}dt}=\] \[=2\int{\frac{1}{{{\sin }^{2}}t}dt}-2\int{dt}=-2\frac{\cos t}{\sin t}-2t+c=\] \[=-2\arcsin \left( 2x \right)-\frac{\sqrt{1-4{{x}^{2}}}}{x}+c\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Lucia la seguente domanda:

Caro professore,

mi aiuterebbe con questo esercizio? (p.1979, n. 345 Matematica.blu 2.0)

a) By using substitution \(u=4-\sin x\), or otherwise, find: \[\int{\frac{\cos x}{{{\left( 4-\sin x \right)}^{2}}}dx}\quad .\]

 b) Hence, or otherwise, find: \[\int{\frac{\cos 2x}{{{\left( 4-\sin 2x \right)}^{2}}}dx\quad }.\]

UK Northern Examination Assessment Board, NEAB)

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Lucia,

la sostituzione suggerita trasforma l’integrale nel seguente: \[-\int{\frac{1}{{{u}^{2}}}du}=\frac{1}{u}+c=\frac{1}{4-\sin x}\quad .\]L’integrale richiesto in b) si riduce al precedente, ponendo \(2x=t\):\[\int{\frac{\cos 2x}{{{\left( 4-\sin 2x \right)}^{2}}}dx=\frac{1}{2}\int{\frac{\cos t}{{{\left( 4-\sin t \right)}^{2}}}dt=\frac{1}{2\left( 4-\sin 2x \right)}+c\quad }}.\]

Massimo Bergamini.

Ricevo da Ettore la seguente domanda:

Caro professore,

ho qualche difficoltà nel calcolare la probabilità richiesta nel seguente problema (n.90, p.51 \(\sigma\), Matematica.blu 2.0):

Un produttore di bulbi garantisce la fioritura al \(90\%\) avendo constatato sperimentalmente che il \(5\%\) di essi non germoglia. I bulbi che pone in commercio sono confezionati in scatole da \(40\) unità. Considera la variabile casuale \(X\)=”numero dei bulbi non fioriti” e determina il valore medio, la varianza, la deviazione standard e la probabilità che una confezione non raggiunga il livello garantito.

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Ettore,

la variabile \(X\) è una tipica variabile bernoulliana, cioè distribuita in modo binomiale, anche se, vista la “rarità” dell’evento in questione, cioè il fatto che sia \(p=0,05\), e la relativa numerosità dei “tentativi”, cioè \(n=40\), si potrebbe approssimare la distribuzione binomiale con la distribuzione di Poisson, con parametro \(\lambda =2\) (=valor medio di \(X\)):

\[p\left( X=x \right)=\left( \begin{matrix}   40  \\   x  \\ \end{matrix} \right){{\left( \frac{1}{20} \right)}^{x}}{{\left( \frac{19}{20} \right)}^{40-x}}\approx \frac{{{2}^{x}}}{x!}{{e}^{-2}}\quad 0\le x\le 40\quad .\]

Per definizione, usando la distribuzione binomiale abbiamo i seguenti valori per valor medio, varianza e deviazione standard di \(X\): \[M\left( X \right)=np=40\cdot \frac{1}{20}=2,\ \operatorname{var}\left( X \right)=np\left( 1-9 \right)=1,9,\ \sigma \left( X \right)=\sqrt{\operatorname{var}\left( X \right)}\approx 1,378\] e con l’approssimazione di Poisson: \[M\left( X \right)=\lambda =np=2,\ \operatorname{var}\left( X \right)=\lambda =2,\ \sigma \left( X \right)=\sqrt{\operatorname{var}\left( X \right)}\approx 1,414\quad .\]

La probabilità che una confezione non raggiunga il livello garantito equivale alla probabilità che più del \(10\%\) dei \(40\) bulbi della confezione non fiorisca, cioè che non fioriscano più di \(4\) bulbi: tale probabilità può essere calcolata come \(p=1-p\left( X\le 4 \right)=1-\sum\limits_{x=0}^{4}{p\left( X=x \right)}\) cioè, utilizzando la distribuzione binomiale: \[p=1-\left( \frac{{{19}^{40}}+40\cdot {{19}^{39}}+780\cdot {{19}^{38}}+9880\cdot {{19}^{37}}+91390\cdot {{19}^{36}}}{{{20}^{40}}} \right)\approx 0,048\] o, utilizzando Poisson: \[p=1-{{e}^{-2}}\left( 1+2+2+\frac{4}{3}+\frac{2}{3} \right)=1-\frac{7}{{{e}^{2}}}\approx 0,053\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Leonardo la seguente domanda:

Gentilissimo professore,

riesco a risolvere solo in parte questo problema, ossia non riesco a trovare il seno di \(\gamma\):

Nel triangolo \(ABC\) la bisettrice \(CS\) divide il lato \(AB\) nei segmenti \(AS\), \(SB\), lunghi rispettivamente \(17\;cm\) e \(10\;cm\). Sappiamo che le distanze \(SH\), \(SK\) di \(S\) dai lati \(AC\) e \(CB\) misurano \(8\;cm\). Determina i valori del seno di ciascun angolo del triangolo e, dopo aver calcolato per via geometrica le lunghezze dei lati \(AC\) e \(CB\), verifica la proporzione \(AC:CB=\sin(\beta):\sin(\alpha\))).

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Leonardo,

ricaviamo facilmente i seni degli angoli \(\alpha\) e \(\beta\) nei vertici \(A\) e \(B\) rispettivamente osservando i triangoli rettangoli \(ASH\) e \(BSK\): \[\sin \alpha =\frac{8}{17}\quad \quad \sin \beta =\frac{4}{5}\] e quindi, supponendo (vedi figura) che entrambi i punti \(H\) e \(K\) appartengano ai segmenti \(AC\) e \(CB\) (cosa non ben specificata nel testo), e cioè che \(\alpha\) e \(\beta\) siano entrambi acuti, dall’identità gonometrica fondamentale si possono ricavare \[\cos \alpha =\frac{15}{17}\quad \quad \sin \beta =\frac{3}{5}\] da cui: \[\sin \gamma =\sin \left( \pi -\left( \alpha +\beta  \right) \right)=\sin \left( \alpha +\beta  \right)=\] \[=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta =\frac{84}{85}\quad .\] Si può inoltre osservare che: \[AH=17\cos \alpha =15\quad BK=10\cos \beta =6\]\[C\overset{\vartriangle }{\mathop{S}}\,H\cong C\overset{\vartriangle }{\mathop{S}}\,K\to CH\cong CK\] da cui, ricordando il teorema della bisettrice (o, in alternativa, utilizzando il teorema dei seni e quindi la proporzione: \(AC:CB=\sin(\beta):\sin(\alpha\))): \[AC:AS=CB:BS\to \frac{15+CH}{17}=\frac{6+CH}{10}\to CH=\frac{48}{7}\] e quindi: \[AC=15+\frac{48}{7}=\frac{153}{7}\quad CB=6+\frac{48}{7}=\frac{90}{7}\] per verificare infine l’assunto del teorema dei seni: \[\frac{AC}{CB}=\frac{17}{10}=\frac{\sin \beta }{\sin \alpha }\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Ferdinando la seguente domanda:

Gentile professore,

mi può aiutare a risolvere questo problema?

Sia \(AOB\) un settore circolare di centro \(O\) e raggio \(r\), tale che \(\cos(A\hat{O}B=-7/25\) e \(\pi/2<A\hat{O}B<\pi\). Determinare sull’arco \(AB\) un punto \(P\) in modo che risulti: \(\overline{PH}+\overline{PK}=\frac{4}{25}kr\), \(k\in {{\mathbb{R}}^{+}}\), dove \(H\) e \(K\) sono le proiezioni ortogonali di \(P\) rispettivamente sulla corda \(AB\) e sulla tangente in \(A\) al settore.

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Ferdinando,

con riferimento alla figura, poniamo \(A\hat{O}B=2\alpha\) e \(A\hat{O}P=2x\), con \(0\le x\le \alpha\), da cui: \[P\hat{A}O=\frac{\pi }{2}-x\quad P\hat{A}K=x\quad P\hat{A}H=\alpha –x\] e quindi: \[AP=2r\sin x\quad PH=AP\sin \left( \alpha -x \right)\]\[PK=AP\sin x=2r{{\sin }^{2}}x\] e poiché  \[\cos \alpha =\sqrt{\frac{1-7/25}{2}}=\frac{3}{5}\quad \sin \alpha =\frac{4}{5}\] si ha: \[PH=2r\sin x\left( \frac{4}{5}\cos x-\frac{3}{5}\sin x \right)\quad .\] L’equazione richiesta risulta pertanto: \[\frac{8}{5}\sin x\cos x+\frac{4}{5}{{\sin }^{2}}x=\frac{4}{25}k\to 10\sin 2x-5\cos 2x+5-2k=0\] che, posto \(\cos 2x=X\), \(\sin 2x=Y\), si traduce nel seguente sistema parametrico: \[\left\{ \begin{array}{lll} 10Y-5X+5-2k=0 \\ X^2+Y^2=1 \\ -7/25\le X\le 0, 0\le Y\le 24/25 \end{array} \right. \] da cui, osservando le intersezioni nel piano \(XY\) del fascio improprio di rette \(Y=\frac{1}{2}X+\frac{\left( 2k-5 \right)}{10}\) con l’arco di circonferenza goniometrica di estremi \(A(1;0)\) e \(B\left( -\frac{7}{25},\frac{24}{25} \right)\), si deduce che il problema ammette una soluzione per ogni valore di \(k\) tale che \(0\le k\le 4\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Carmen la seguente domanda:

Salve professore,

potrebbe aiutarmi a risolvere questo problema (n.65, pag.19, Verso la seconda prova di Matematica)?

Nel piano cartesiano è riportato il motivo a petalo di fiore rappresentato in figura su una piastrella quadrata di lato \(3\;dm\). Il profilo superiore \(OAB\) del petalo è rappresentato da una funzione del tipo \(f(x)=a\log_2(x+k)\), con \(a, k>0\) e \(x\in\left[ 0;3 \right]\). Il profilo inferiore \(OCB\) è simmetrico a quello superiore rispetto alla bisettrice del primo quadrante.

a. Determina i valori di \(a\) e \(k\).

b. Determina l’espressione analitica della funzione che rappresenta il profilo inferiore del petalo.

c. Calcola l’area racchiusa dal petalo.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Carmen,

imponendo che si abbia \(f\left( 0 \right)=0\) e \(f\left( 3 \right)=3\), si ha:           \[a{{\log }_{2}}k=0\leftrightarrow k=1\quad \to \quad a{{\log }_{2}}\left( 4 \right)=3\leftrightarrow a=\frac{3}{2}\] per cui \(f\left( x \right)=\frac{3}{2}{{\log }_{2}}\left( x+1 \right)\) e quindi, operando lo scambio \(x\leftrightarrow y\) rappresentato dalla simmetria rispetto alla bisettrice del quadrante, si ottiene la funzione inversa \[x=\frac{3}{2}{{\log }_{2}}\left( y+1 \right)\to y+1={{2}^{\frac{2}{3}x}}\to y={{2}^{\frac{2}{3}x}}-1\quad .\] Per calcolare l’area \(S\) racchiusa dal petalo possiamo sfruttare la simmetria e porre\[S=2\int\limits_{0}^{3}{\left( x-{{2}^{\frac{2}{3}x}}+1 \right)dx}=2\left[ \frac{1}{2}{{x}^{2}}+x \right]_{0}^{3}-2\int\limits_{0}^{3}{{{e}^{\frac{2x\ln 2}{3}}}dx=}\]\[=15-\frac{3}{\ln 2}\left[ {{2}^{\left( 2x/3 \right)}} \right]_{0}^{3}=15-\frac{9}{\ln 2}\;dm^3\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Marco la seguente domanda:

Gentile professore,

le propongo questo problema inerente la geometria analitica nello spazio:

Determinare per quale valore del parametro \(h\) risultano incidenti le rette di equazione

\[r:\left\{ \begin{array}{ll} x+hz=1 \\ (2h+1)y+z=0 \end{array} \right. \quad\quad s:\left\{ \begin{array}{ll} 2x-hy+z=1 \\ x+3y+(h+1)z=1 \end{array} \right. \quad .\]

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Marco,

se esplicitiamo le equazioni della prima retta rispetto ad una delle incognite, ad esempio \(y\), abbiamo: \[r:\left\{ \begin{array}{ll} x=1+h(2h+1)y \\ z=-(2h+1)y \end{array} \right. \] e la condizione di incidenza con la retta \(s\) implica che, sostituendo le precedenti espressioni di \(x\) e \(y\) nelle equazioni di \(s\) queste ammettano una soluzione: \[\left\{ \begin{array}{ll} 2+2h(2h+1)y-hy-(2h+1)y=1 \\ 1+h(2h+1)y+3y-(h+1)(2h+1)y=1 \end{array} \right. \] \[\left\{ \begin{array}{ll} 2+4h^2y+2hy-2hy-hy-y=1 \\ 2h^2y+hy+3y-2h^2y-hy-2hy-y=0 \end{array} \right. \] \[\left\{ \begin{array}{ll} 4h^2y-hy-y+1=0 \\ (1-h)y=0 \end{array} \right. \quad .\] Se \(h\ne 1\), la seconda equazione del sistema è risolta solo per \(y=0\), ma tale valore non risolve la prima, che risulta impossibile: se invece \(h=1\), la seconda è risolta per ogni valore di \(y\), mentre la prima si riduce a \(2y+1=0\), da cui la soluzione accettabile \(y=-\frac{1}{2}\), e di conseguenza \(x=-\frac{1}{2}\) e \(z=\frac{3}{2}\), cioè il solo valore di \(h\) per il quale le due rette si intersecano è \(h=1\), e in tal caso il punto di intersezione è \(\left( -\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{3}{2} \right)\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Lucia la seguente domanda:

Caro professore,

incontro difficoltà nello svolgere i seguenti integrali (nn. 570, 574, 575, 576, 579, 585, pag.1993, Matematica.blu 2.0), potrebbe cortesemente aiutarmi?

\[\int{\frac{{{\sin }^{4}}x}{{{\cos }^{6}}x}dx}\quad \int{x\frac{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}{1+{{e}^{2x}}}dx}\quad \int{\frac{{{e}^{2x}}}{\sqrt{{{e}^{x}}+1}}dx}\] \[\int{\sin 4x\cos 6x\,dx}\quad \int{\frac{1+{{\cos }^{2}}x}{\sin 2x}dx}\quad \int{{{\cos }^{2}}x{{\sin }^{2}}x\cos 2x\,dx}\quad .\]

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Lucia,

nel primo caso, osservando che \(D\left( \tan x \right)=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\), si ha: \[\int{\frac{{{\sin }^{4}}x}{{{\cos }^{6}}x}dx}=\int{{{\tan }^{4}}x\cdot \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}dx=}\frac{1}{5}{{\tan }^{5}}x+c\quad .\]

Nel secondo caso, possiamo riscrivere in modo opportuno la funzione integranda e procedere per parti: \[\int{x\frac{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}{1+{{e}^{2x}}}dx}=\int{x\frac{}{{{e}^{x}}}dx=}\int{x{{e}^{-x}}dx=}\]\[=-x{{e}^{-x}}+\int{{{e}^{-x}}dx=}-{{e}^{-x}}\left( x+1 \right)+c\quad .\]

Nel terzo caso, possiamo operare la sostituzione \(t=\sqrt{{{e}^{x}}+1}\), da cui: \[dx=\frac{2t}{{{t}^{2}}-1}dt\to \int{\frac{{{e}^{2x}}}{\sqrt{{{e}^{x}}+1}}dx}=\int{\frac{{{\left( {{t}^{2}}-1 \right)}^{2}}}{t}\frac{2t}{{{t}^{2}}-1}dt=}\]\[=2\int{\left( {{t}^{2}}-1 \right)dt=}\frac{2}{3}\sqrt{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{3}}}-2\sqrt{{{e}^{x}}+1}+c=\frac{2}{3}\left( {{e}^{x}}-2 \right)\sqrt{{{e}^{x}}+1}+c\quad .\]

Nel quarto caso, usando l’identità goniometrica \(\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}\left[ \sin \left( \alpha +\beta  \right)+\sin \left( \alpha -\beta  \right) \right]\) (formula di Werner), si ha: \[\int{\sin 4x\cos 6x\,dx}=\frac{1}{2}\int{\sin 10x}\,dx-\frac{1}{2}\int{\sin 2x}\,dx=-\frac{\cos 10x}{20}+\frac{\cos 2x}{4}+c\quad .\]

Nel quinto caso, usando le dentità goniometriche \(1={{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x\) e \(\sin 2x=2\sin x\cos x\), si ha: \[\int{\frac{1+{{\cos }^{2}}x}{\sin 2x}dx}=\int{\frac{2{{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x}{2\sin x\cos x}dx}=\]\[=\int{\frac{\cos x}{\sin x}dx}+\frac{1}{2}\int{\frac{\sin x}{\cos x}dx}=\ln \left| \sin x \right|-\frac{1}{2}\ln \left| \cos x \right|+c\quad .\]

Nell’ultimo caso, osservando che \({{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x=\frac{1}{4}{{\sin }^{2}}2x\), si ha: \[\int{{{\cos }^{2}}x{{\sin }^{2}}x\cos 2x\,dx}=\frac{1}{4}\int{{{\sin }^{2}}2x\cos 2x\,dx}=\]\[=\frac{1}{8}\int{2{{\sin }^{2}}2x\cos 2x\,dx}=\frac{1}{8}\left( \frac{1}{3}{{\sin }^{3}}2x \right)+c=\frac{{{\sin }^{3}}2x}{24}+c\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Ettore la seguente domanda:

Caro professore, umilmente un aiuto (n.14, pag.2120, Matematica.blu 2.0):

Un corpo di massa \(1\;kg\) è agganciato a una molla di costante \(k=4\;N/m\). Il sistema è appoggiato su un piano orizzontale. La molla viene allungata fino a \(0,2\;m\) dalla posizione di equilibrio. Se il corpo viene rilasciato e se su di esso agisce una forza di attrito di modulo \(F=hv\), con \(v\) velocità del corpo, quale deve essere il valore minimo di \(h\) affinché non vi siano oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio? Determina in tal caso la legge oraria del moto.

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Ettore,

stabilito sul piano orizzontale un asse di riferimento \(Ox\) orientato, con \(x\) espresso in metri e \(x(0)=0,2\), dalla legge di Hooke per la forza elastica abbiamo \({{F}_{E}}=-4x\); posto \(v=x’\), la forza di attrito, sempre opposta alla velocità, è  \({{F}_{A}}=-hx’\), per cui, essendo \(m=1\;kg\), dall’equazione cardinale \(F=mx’’\) ricaviamo la seguente equazione lineare del secondo ordine omogenea e a coefficienti costanti:\[x’’+hx'+4x=0\] la cui equazione caratteristica è \({{p}^{2}}+hp+4=0\): il discriminante \(\Delta ={{h}^{2}}-16\), posto che \(h\) sia positivo, risulta non negativo se \(h\ge 4\), cioè l’equazione non ammette soluzioni tipo seno e coseno se e solo se \(h\ge 4\). Posto \(h=4\), l’equazione caratteristica ammette come soluzione doppia \(t=-2\), per cui la soluzione generale dell’equazione differenziale è in tal caso: \[x\left( t \right)={{e}^{-2t}}\left( {{c}_{1}}+{{c}_{2}}t \right)\quad .\]

Le condizioni al contorno sono \(x(0)=0,2\), da cui \(c_1=0,2\), e \(x’(0)=0\), da cui \(-2c_1+c_2=0\), cioè \(c_2=0,4\); in conclusione, la legge oraria risulta: \[x\left( t \right)=0,2{{e}^{-2t}}\left( 0,2t+1 \right)\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Ettore la seguente domanda:

Caro professore, umilmente un aiuto (n.16, pag.\(\sigma\)63, Matematica.blu 2.0):

Tre concorrenti tirano contemporaneamente a un bersaglio. Essi hanno probabilità di colpirlo rispettivamente dell’\(80\%\), del \(70\%\) e del \(50\%\).

a) Determina la distribuzione di probabilità della variabile casuale relativa al numero di colpi andati a segno.

Calcola:

b) il valore medio e la deviazione standard della variabile casuale del punto a;

c) la probabilità che almeno due colpi vadano a segno.

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Ettore,

la variabile casuale \(X\)=”numero di colpi andati a segno” può assumere quattro valori \(x_k=k,\;k=0,1,2,3\), con le probabilità seguenti, dove \(A\), \(B\) e \(C\) indicano il successo nel tiro rispettivamente di ciascuno dei tre concorrenti: \[{{p}_{0}}=p\left( X=0 \right)=p\left( \bar{A}\cap \bar{B}\cap \bar{C} \right)=\frac{1}{5}\cdot \frac{3}{10}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{100}\]\[{{p}_{1}}=p\left( X=1 \right)=p\left( \left( A\cap \bar{B}\cap \bar{C} \right)\cup \left( \bar{A}\cap B\cap \bar{C} \right)\cup \left( \bar{A}\cap \bar{B}\cap C \right) \right)=\]\[=\frac{4}{5}\cdot \frac{3}{10}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{5}\cdot \frac{7}{10}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{5}\cdot \frac{3}{10}\cdot \frac{1}{2}=\frac{22}{100}\] \[{{p}_{2}}=p\left( X=2 \right)=p\left( \left( \bar{A}\cap B\cap C \right)\cup \left( A\cap \bar{B}\cap C \right)\cup \left( A\cap B\cap \bar{C} \right) \right)=\]\[=\frac{1}{5}\cdot \frac{7}{10}\cdot \frac{1}{2}+\frac{4}{5}\cdot \frac{3}{10}\cdot \frac{1}{2}+\frac{4}{5}\cdot \frac{7}{10}\cdot \frac{1}{2}=\frac{47}{100}\]\[{{p}_{3}}=p\left( X=3 \right)=p\left( A\cap B\cap C \right)=\frac{4}{5}\cdot \frac{7}{10}\cdot \frac{1}{2}=\frac{28}{100}\] da cui: \[\mu =M\left( X \right)=\sum\limits_{k=0}^{3}{{{x}_{k}}\cdot {{p}_{k}}}=\frac{22}{100}+\frac{94}{100}+\frac{84}{100}=\frac{200}{100}=2\]\[\sigma \left( X \right)=\sqrt{\sum\limits_{k=0}^{3}{{{\left( {{x}_{k}}-\mu  \right)}^{2}}\cdot {{p}_{k}}}}=\sqrt{\frac{12}{100}+\frac{22}{100}+\frac{28}{100}}=\sqrt{\frac{62}{100}}=0,787\quad .\]

La probabilità \(p\) che almeno due colpi vadano a segno è data da: \[p=p\left( X\ge 2 \right)={{p}_{2}}+{{p}_{3}}=\frac{47}{100}+\frac{28}{100}=\frac{75}{100}\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Chiara la seguente domanda:

Salve professore,

avrei bisogno di un aiuto per risolvere questo problema.

Da un punto \(P\) appartenente alla parabola di equazione \(y=x^2\), conduci la tangente \(t\) alla parabola e indica con \(Q\) il punto di intersezione di \(t\) con l’asse \(y\). Scrivi l’equazione del luogo descritto dal punto \(P’\) simmetrico di \(P\) rispetto a \(Q\), al variare di \(P\) sulla parabola.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Chiara,

detta \(k\) l’ascissa di un generico punto \(P(k;k^2)\) della parabola, l’equazione della retta \(t\) tangente ad essa in \(P\) è data da:       \[y=2k\left( x-k \right)+{{k}^{2}}=2kx-{{k}^{2}}\] per cui il punto \(Q\) in cui tale retta interseca l’asse \(y\) ha coordinate \(Q(0;-k^2)\). Le coordinate del simmetrico \(P’\) di \(P\) rispetto a \(Q\) sono: \[\frac{{{x}_{P'}}+k}{2}=0\to {{x}_{P'}}=-k\quad \frac{{{y}_{P'}}+{{k}^{2}}}{2}=-{{k}^{2}}\to {{y}_{P'}}=-3{{k}^{2}}\]

per cui, ricavando \(k=-x\) dalla prima uguaglianza e sostituendola nella seconda, si ricava che  il luogo descritto dal punto \(P’\) ha equazione: \[y=-3{{x}^{2}}\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Domenica la seguente domanda:

Gentile professore,

ho trovato questo quesito tra quelli da voi proposti, mi può aiutare?

Per quale valore del parametro reale \(a\) l’equazione differenziale \((x^2+x−2)y′=2x+a\) ammette una curva integrale passante per i punti \((2;\ln 4)\) e \((−3;\ln 4)\)? Scrivi esplicitamente l’espressione di tale curva integrale.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Domenica,

l’equazione in questione è un’equazione del primo ordine di tipo \(y’(x)=f(x)\), infatti, posto che sia \(x\ne 1\wedge  x\ne -2\), si può riscrivere l’equazione in questo modo:        \[y'=\frac{2x+a}{\left( x-1 \right)\left( x+2 \right)}\] da cui \[y=\int{\frac{2x+a}{\left( x-1 \right)\left( x+2 \right)}}dx=\int{\frac{2x+1}{\left( x-1 \right)\left( x+2 \right)}}dx+\left( a-1 \right)\int{\frac{1}{\left( x-1 \right)\left( x+2 \right)}}dx=\]\[=\ln \left| {{x}^{2}}+x-2 \right|+\frac{\left( a-1 \right)}{3}\ln \left| \frac{x-1}{x+2} \right|+c\] e quindi, imponendo che sia \(y(2)=\ln 4\) si ricava \[\ln 4+\frac{\left( a-1 \right)}{3}\ln \frac{1}{4}+c=\ln 4\to c=\frac{\left( a-1 \right)}{3}\ln 4\]e infine, affinchè sia anche \(y(-3)=\ln 4\), si ha: \[\ln 4+\frac{\left( a-1 \right)}{3}\ln 4+\frac{\left( a-1 \right)}{3}\ln 4=\ln 4\to \frac{2\left( a-1 \right)}{3}\ln 4=0\leftrightarrow a=1\quad .\] Ne consegue che la curva integrale cercata è la seguente: \[y=\ln \left| {{x}^{2}}+x-2 \right|\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Lucia la seguente domanda:

Egregio professore,

incontro difficoltà nella risoluzione di questi problemi (pag. 2055, nn.287, 288, 289, Matematica.blu 2.0):

1) Calcola l’area della regione contenuta nel semipiano delle ordinate positive delimitata dall’ellisse di equazione \(\frac{{{x}^{2}}}{16}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1\).

2) Data la parabola di equazione \(y=ax^2+3x+5\), con \(a\in\mathbb{R}\), determina il valore di \(a\) in modo che l’area della regione finita di piano individuata dalla parabola e dalla retta di equazione \(y=x+5\) sia uguale a \(\frac{1}{3}\).

3) Dopo aver rappresentato graficamente la funzione \(y=x^3-x^2\), determina l’area della regione finita di piano compresa fra la curva, la retta a essa tangente nel suo punto di minimo e la retta a essa tangente nel suo punto di intersezione con l’asse \(x\) distinto dall’origine.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Lucia,

nel primo caso si può ricavare l’area \(S\) richiesta, sfruttando la simmetria e utilizzando le sostituzione \(x=4t\) e \(t=\sin p\), nel modo seguente:      \[S=2\int\limits_{0}^{4}{2\sqrt{1-{{\left( \frac{x}{4} \right)}^{2}}}}dx=16\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{1-{{t}^{2}}}dt=}\]\[=16\int\limits_{0}^{\pi /2}{{{\cos }^{2}}p\,dp=}8\left[ p+\sin p\cos p \right]_{0}^{\pi /2}=4\pi \] a conferma della formula \(2S=ab\pi =8\pi\) per l’area dell’ellisse in funzione dei semiassi, deducibile per affinità da quella del cerchio.

Nel secondo caso, si trova che retta e parabola si intersecano nei punti \(A(-\frac{2}{a};5-\frac{2}{a})\) e \(B(0;5)\), per cui si ha: \[S=\left| \int\limits_{-2/a}^{0}{\left( a{{x}^{2}}+2x \right)dx} \right|=\left| \left[ \frac{1}{3}a{{x}^{3}}+{{x}^{2}} \right]_{-2/a}^{0} \right|=\frac{4}{3{{a}^{2}}}\] da cui: \[\frac{4}{3{{a}^{2}}}=\frac{1}{3}\leftrightarrow a=\pm 2\quad .\]

Nel terzo caso, essendo \(y=-\frac{4}{27}\) la retta tangente nel punto di minimo \(A(2/3;-4/27)\) e \(y=x-1\) la tangente nel punto \((1;0)\), ed essendo \(C(23/27;-4/27)\) il punto di intersezione delle due tangenti, si può calcolare l’area della regione \(S\) nel modo seguente: \[S=\int\limits_{2/3}^{23/27}{\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}}+\frac{4}{27} \right)dx+}\int\limits_{23/27}^{1}{\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}}-x+1 \right)dx=}\]\[=\left[ \frac{{{x}^{4}}}{4}-\frac{{{x}^{3}}}{3}+\frac{4x}{27} \right]_{2/3}^{23/27}+\left[ \frac{{{x}^{4}}}{4}-\frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{{{x}^{2}}}{2}+x \right]_{23/27}^{1}=…\]\[...=\frac{13}{2916}\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Domenica la seguente domanda:

Gentile professore,

ho questa equazione: \[x^4+6x^2+25=0\quad.\]

Non riesco a trovare le soluzioni riportate dal testo, forse perché non riesco a scrivere le soluzioni in forma trigonometrica prima di calcolare le radici quadrate. Mi può aiutare?

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Domenica,

posto che le soluzioni complesse dell’equazione sono tali che \[{{x}^{2}}=-3+4i\quad \vee \quad {{x}^{2}}=-3-4i\]

se vogliamo ricavare le soluzioni come radici complesse utilizzando la forma trigonometrica, possiamo riscrivere le equazioni in questo modo: \[{{x}^{2}}=5\left( -\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i \right)\quad \vee \quad {{x}^{2}}=5\left( -\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i \right)\] e quindi, posto \(\cos \alpha =-\frac{3}{5}\) e \(\sin \alpha =\frac{4}{5}\), si possono ricavare le radici nel modo usuale: \[{{x}_{1}}=\sqrt{5}\left( \cos \frac{\alpha }{2}+\sin \frac{\alpha }{2}i \right)\quad {{x}_{2}}=-\sqrt{5}\left( \cos \frac{\alpha }{2}+\sin \frac{\alpha }{2}i \right)\]\[{{x}_{3}}=\sqrt{5}\left( \cos \frac{\alpha }{2}-\sin \frac{\alpha }{2}i \right)\quad {{x}_{4}}=-\sqrt{5}\left( \cos \frac{\alpha }{2}-\sin \frac{\alpha }{2}i \right)\]

da cui, essendo \(\alpha/2\) sicuramente compreso nel primo quadrante: \[\cos \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{1-3/5}{2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\quad \sin \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{1+3/5}{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\]e infine:

\[{{x}_{1}}=1+2i\quad {{x}_{2}}=-1-2i\]\[{{x}_{3}}=1-2i\quad {{x}_{4}}=-1+2i\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Lucia la seguente domanda:

Caro professore,

mi aiuterebbe nella risoluzione di questi problemi (pag.2056, nn. 291, 294, 312, Matematica.blu 2.0)?

1) Rappresenta graficamente la funzione \(y=\frac{2x+1}{{{x}^{2}}-4x+4}\) e calcola l’area della regione finita di piano compresa fra l’asse \(x\), la retta di equazione \(x=1\) e la retta parallela all’asse \(y\) passante per il punto di minimo della funzione.

2) Rappresenta la funzione \(y=\frac{{{x}^{2}}+1}{x+1}\) e determina l’area della regione finita delimitata dagli assi \(x\) e \(y\), dal grafico della funzione e dalla retta parallela all’asse \(y\) passante per il punto di minimo relativo della funzione.

3) Studia la funzione \(f\left( x \right)=\frac{2x-5}{{{\left( x-2 \right)}^{3}}}\) e rappresenta il grafico \(\gamma\). Determina della parabola che passa per i punti \(F\), \(A\), \(B\), essendo \(F\) il flesso di \(\gamma\), \(A\) l’ulteriore punto di intersezione di \(\gamma\) con la tangente inflessionale e \(B\) il punto di intersezione di \(\gamma\) con l’asse \(x\). Calcola poi l’area della regione finita di piano delimitata dalle due curve.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Lucia,

nel primo caso, una volta individuato il minimo della funzione nel punto \(E(-3;-1/5)\), si osserva che la regione è formata da due parti, l’una al di sotto dell’asse \(x\) (nell’intervallo \(\left[ -3;-1/2 \right]\)) e l’altra al di sopra dell’asse \(x\) (nell’intervallo \(\left[ -1/2;1 \right]\)), per cui l’area \(S_1\) cercata è data da: \[{{S}_{1}}=-\int\limits_{-3}^{-1/2}{\frac{2x+1}{{{x}^{2}}-4x+4}dx+}\int\limits_{-1/2}^{1}{\frac{2x+1}{{{x}^{2}}-4x+4}dx}\] e poiché \[\int{\frac{2x+1}{{{x}^{2}}-4x+4}dx=}\int{\frac{2x-4}{{{x}^{2}}-4x+4}dx+5}\int{\frac{1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}dx}=2\ln \left| x-2 \right|-\frac{5}{x-2}+c\] si ha:          \[{{S}_{1}}=\left[ 2\ln \left| x-2 \right|-\frac{5}{x-2} \right]_{-1/2}^{-3}+\left[ 2\ln \left| x-2 \right|-\frac{5}{x-2} \right]_{-1/2}^{1}=\]\[=2\ln 2-1+3-2\ln 5+2\ln 2=2+2\ln \frac{4}{5}\quad .\]

Nel secondo caso, una volta individuato il minimo della funzione nel punto \(B(\sqrt{2}-1;2(\sqrt{2}-1))\), si tratta di calcolare: \[{{S}_{2}}=\int\limits_{0}^{\sqrt{2}-1}{\frac{{{x}^{2}}+1}{x+1}dx}=2\int\limits_{0}^{\sqrt{2}-1}{\frac{1}{x+1}dx+\int\limits_{0}^{\sqrt{2}-1}{\left( x-1 \right)dx}=}\]\[=2\left[ \ln \left| x+1 \right| \right]_{0}^{\sqrt{2}-1}+\left[ \frac{1}{2}{{x}^{2}}-x \right]_{0}^{\sqrt{2}-1}=\ln 2+\frac{5}{2}-2\sqrt{2}\quad .\]

Infine, nell’ultimo caso, individuati il flesso \(F(3;1)\), la tangente inflessionale \(y=-x+4\) e il suo ulteriore punto di intersezione con la curva \(\gamma\), cioè \(A(1;3)\), e il punto di intersezione \(B(5/2;0)\) tra \(\gamma\) e l’asse \(x\), si ricava l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse \(y\) passante per \(A\), \(B\) e \(F\), cioè: \[y=2{{x}^{2}}-9x+10\] per cui la regione in questione ha area:        \[{{S}_{3}}=\int\limits_{5/2}^{3}{\left( \frac{2x-5}{{{\left( x-2 \right)}^{3}}}-2{{x}^{2}}+9x-10 \right)}dx=\] \[=2\int\limits_{5/2}^{3}{\frac{1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}}-\int\limits_{5/2}^{3}{\frac{1}{{{\left( x-2 \right)}^{3}}}}+\left[ -\frac{2}{3}{{x}^{3}}+\frac{9}{2}{{x}^{2}}-10x \right]_{5/2}^{3}=\]\[=2\left[ -\frac{1}{x-2} \right]_{5/2}^{3}+\frac{1}{2}\left[ \frac{1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}} \right]_{5/2}^{3}-\frac{5}{24}=\]\[=\frac{1}{2}-\frac{5}{24}=\frac{7}{24}\quad .\]

Massimo Bergamini