Ricevo da Carlo la seguente domanda:

Buonasera professore,

non riesco a risolvere i seguenti problemi con i limiti (pag. 1537, n.563 e n.566, Matematica.blu.2.0 vol.5):

1) Data una circonferenza di raggio \(r\) e una sua corda \(AB\) a distanza \(r/2\) dal centro \(O\), indica con \(M\) il punto medio del maggiore dei due archi \(AB\) e con \(P\) un generico punto dell’arco minore. Il segmento \(MP\) interseca la corda \(AB\) in \(Q\). Calcola \[\underset{P\to A}{\mathop{\lim }}\,\frac{\overline{PA}}{\overline{AQ}}\quad .\]

2) Dato il settore circolare \(AOB\) di centro \(O\), raggio \(1\) e angolo al centro \(\pi/4\), considera un punto \(P\) sull’arco \(AB\) e la sua proiezione \(H\) su \(OA\). Traccia la circonferenza con centro in \(H\) passante per \(P\) e sia \(Q\) il suo punto di intersezione con \(OA\). Determina    \[\underset{P\to B}{\mathop{\lim }}\,\frac{\overline{OQ}}{\overline{BP}}\quad .\]

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Carlo,

nel primo caso considera che \(AM=AB=\sqrt{3}r\), poiché entrambe le corde sottendono un angolo al centro di \(\frac{2}{3}\pi\), quindi, posto \(x=A\hat{M}P\), per il teorema della corda sia ha \(AP=2r\sin x\), mentre, per il teorema dei seni applicato al triangolo \(AQM\), si ha \[AQ=\frac{\sqrt{3}r\sin x}{\sin \left( \frac{2}{3}\pi -x \right)}=\frac{2\sqrt{3}r\sin x}{\sqrt{3}\cos x+\sin x}\] per cui: \[\underset{P\to A}{\mathop{\lim }}\,\frac{\overline{PA}}{\overline{AQ}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2r\sin x\left( \sqrt{3}\cos x+\sin x \right)}{2\sqrt{3}r\sin x}=\]\[=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{3}\cos x+\sin x}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=1\quad .\]

Nel secondo caso, posto \(x=A\hat{O}P\), si ha \(PH=QH=\sin x\), da cui \(OQ=OH-QH=\cos x-\sin x\), e \(BP=2\sin \left( \frac{\pi }{8}-\frac{x}{2} \right)\) (teorema della corda), pertanto, posto \(t=\frac{\pi }{8}-\frac{x}{2}\): \[\underset{P\to B}{\mathop{\lim }}\,\frac{\overline{OQ}}{\overline{BP}}=\underset{x\to {{\frac{\pi }{4}}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos x-\sin x}{2\sin \left( \frac{\pi }{8}-\frac{x}{2} \right)}=\]\[=\underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos \left( \frac{\pi }{4}-2t \right)-\sin \left( \frac{\pi }{4}-2t \right)}{2\sin t}=\]\[=\underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos \left( 2t-\frac{\pi }{4} \right)+\sin \left( 2t-\frac{\pi }{4} \right)}{2\sin t}=\]\[=\underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{2}\sin \left( 2t \right)}{2\sin t}=\underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{2}\sin t\cos t}{\sin t}=\sqrt{2}\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Leonardo la seguente domanda:

Gent.mo professore,

ho un problema sulla composizione di funzioni. L’ho svolto ma il risultato del libro è diverso dal mio. Date le funzioni

\[f(x)=\left\{ \begin{array}{lll} x\quad  x<0 \\ -x^2 \quad 0\le x \le 1 \\ x^2 \quad x>1 \end{array} \right.\]

\[g(x)=\left\{ \begin{array}{lll} –x^2+1\quad  x<-1 \\ 0 \quad -1\le x \le 0 \\ x^2 \quad x>0 \end{array} \right.\] devo determinare la funzione composta \(f\left( g\left( x \right) \right)\).

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Leonardo,

innanzitutto osserviamo, confortati anche dall’analisi grafica, che sussistono le condizioni di componibilità, essendo \({{C}_{g}}=\mathbb{R}={{D}_{f}}\); quindi, proseguiamo considerando quali siano le condizioni su \(x\) per le quali si abbia, rispettivamente: \(g\left( x \right)<0\), \(0\le g\left( x \right)\le 1\), \(g\left( x \right)>1\). Analizzando le espressioni di \(g(x)\), e aiutandoci con il suo grafico, concludiamo che:            \[g\left( x \right)<0\leftrightarrow x<-1\quad 0\le g\left( x \right)\le 1\leftrightarrow -1\le x\le 1\quad g\left( x \right)>1\leftrightarrow x>1\]

il che implica che:

• per \(x<-1\), l’espressione di \(g(x)\), cioè \(-x^2+1\), deve essere “inserita” nell’espressione che \(f(x)\) ha qualora il suo argomento sia minore di \(0\), cioè \(x\), per cui \(f\left( g\left( x \right) \right)=-{{x}^{2}}+1\);
• per \(-1\le x \le 0\), l’espressione di \(g(x)\), cioè \(0\), deve essere “inserita” nell’espressione che \(f(x)\) ha qualora il suo argomento sia compreso tra \(0\) e \(1\) compresi, cioè \(-x^2\), per cui \(f\left( g\left( x \right) \right)=-{{0}^{2}}=0\);
• per \(0< x \le 1\), l’espressione di \(g(x)\), cioè \(x^2\), deve essere “inserita” nell’espressione che \(f(x)\) ha qualora il suo argomento sia compreso tra \(0\) e \(1\) compresi, cioè \(-x^2\), per cui \(f\left( g\left( x \right) \right)=-{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{2}}=-{{x}^{4}}\);
• per \(x>1\), l’espressione di \(g(x)\), cioè \(x^2\), deve essere “inserita” nell’espressione che \(f(x)\) ha qualora il suo argomento sia maggiore di \(1\), cioè \(x^2\), per cui \(f\left( g\left( x \right) \right)={{\left( {{x}^{2}} \right)}^{2}}={{x}^{4}}\).

Riassumendo: \[f\left( g\left( x \right) \right)=\left\{ \begin{array}{llll} –x^2+1\quad  x<-1 \\ 0 \quad -1\le x \le 0 \\ -x^4 \quad 0<x\le 1 \\ x^4 \quad x>1 \end{array} \right.\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Caro professore,

come si risolvono questi problemi?

1) Tagliare una sfera di raggio \(r\) con un piano in modo che la differenza delle superfici delle calotte stia in rapporto \(k\) con quella del cerchio sezione.

2) Determinare il raggio di base \(x\) e l’altezza \(y\) di una calotta di una sfera di raggio \(r\) sapendo che la somma dell’area della calotta e del doppio del cerchio di base della calotta è in rapporto \(k\) con l’area della sfera.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

nel primo caso, posta uguale a \(x\) l’altezza di una delle due calotte, con \(0\le x \le r\), il raggio del cerchio sezione è dato da \(\sqrt{2rx-{{x}^{2}}}\), per cui le superfici \(C_1\) e \(C_2\) delle due calotte e la superficie \(C_3\) del cerchio sezione sono date da:       \[{{C}_{1}}=2\pi rx\quad \quad {{C}_{2}}=4\pi {{r}^{2}}-2\pi rx\quad \quad {{C}_{3}}=\pi x\left( 2r-x \right)\]pertanto l’equazione richiesta è la seguente:       \[\frac{4r\left( r-x \right)}{x\left( 2r-x \right)}=k\to k{{x}^{2}}-2r\left( 2+k \right)x+4{{r}^{2}}=0,\ 0\le x\le r\quad .\]

Non si perde generalità nel problema se si pone per comodità \(r=1\), quindi possiamo ricavare il seguente modello geometrico-analitico del nostro problema: \[\left\{ \begin{array}{lll} y=x^2 \\ ky-2(2+k)x+4=0 \\ 0\le x\le 1 \end{array} \right.\] equivalente al problema di intersecare il fascio proprio di rette di centro \((1,2)\) con l’arco della parabola canonica \(y=x^2\) di estremi \((0,0)\) e \((1,1)\); poiché la retta del fascio passante per \((0,0)\) è quella corrispondente a \(k=\infty\), mentre quella passante per \((1,1)\) è la retta verticale corrispondente a \(k=0\), concludiamo che il problema ammette una e una sola soluzione per ogni \(k\ge 0\).

Nel secondo caso, detta \(y\) l’altezza della calotta, con \(0\le y \le 2\), e posto che il raggio del cerchio sezione è \(\sqrt{2y-{{y}^{2}}}\), si ha l’equazione       \[\frac{2\pi y+2\pi y\left( 2-y \right)}{4\pi }=k\to {{y}^{2}}-3y+2k=0,\quad 0\le y\le 2\] da cui possiamo ricavare il seguente modello geometrico-analitico del nostro problema: \[\left\{ \begin{array}{lll} Y=y^2 \\ Y-3y+2k=0 \\ 0\le y\le 2 \end{array} \right.\] equivalente al problema di intersecare il fascio improprio di rette di pendenza \(m=3\) con l’arco della parabola canonica \(Y=y^2\) di estremi \((0,0)\) e \((2,4)\); poiché la retta del fascio passante per \((0,0)\) è quella corrispondente a \(k=0\), quella passante per \((2,4)\) è quella corrispondente a \(k=1\), mentre quella tangente all’arco di parabola corrisponde a \(k=9/8\), concludiamo che il problema ammette una sola soluzione per \(0\le k < 1\), due soluzioni distinte per \(1\le k < 9/8\), due soluzioni coincidenti per \(k=9/8\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Ettore la seguente domanda:

Caro professore,

cortesemente un aiuto sul seguente esercizio (n.565, pag.1537, Matematica.blu 2.0., vol.5):

Nel parallelogramma \(ABCD\) le misure dei lati \(AB\) e \(BC\) sono rispettivamente \(a\) e \(b\) e l’angolo in \(B\) misura \(120{}^\circ\). Dal generico punto \(F\) appartenente al lato \(BC\) conduci la parallela al lato \(AB\) che incontra in \(G\) la diagonale \(AC\) e in \(E\) il lato \(AD\). Calcola il limite del rapporto fra l’area del triangolo \(CFG\) e quella del trapezio \(CDEG\) al tendere di \(F\) a \(C\).

Gli rispondo così:

Caro Ettore,

posto \(FC=x\), possiamo ricavare le aree di \(CFG\) e \(CDEG\) in funzione di \(x\):\[{{S}_{CFG}}=\frac{1}{2}GF\cdot FC\cdot \sin 120{}^\circ =\frac{\sqrt{3}}{4}\frac{a{{x}^{2}}}{b}\]\[{{S}_{CDEG}}={{S}_{EFCD}}-{{S}_{CFG}}=ED\cdot EF\cdot \sin 60{}^\circ -{{S}_{CFG}}=\]\[=\frac{\sqrt{3}}{2}ax-\frac{\sqrt{3}}{4}\frac{a{{x}^{2}}}{b}\]avendo utilizzato la similitudine tra i triangoli \(ABC\) e \(CGF\), per cui \(GF=\frac{ax}{b}\).  Possiamo quindi calcolare il limite richiesto:

\[\underset{F\to C}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{S}_{CFG}}}{{{S}_{CDEG}}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{\sqrt{3}a{{x}^{2}}}{4b}}{\frac{\sqrt{3}ax}{2}-\frac{\sqrt{3}a{{x}^{2}}}{4b}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{2b-x}=0\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Caro professore,

come si risolvono questi problemi?

1) Una palizzata di \(3\;m\) di altezza è costruita parallelamente a un muro a una distanza di \(0,5\;m\) da esso.  Qual è la lunghezza minima di una scala che si appoggi al muro e tocchi la palizzata?

2) Un rombo \(ABCD\) ha il lato obliquo di misura \(a\) e la diagonale minore \(AC\) di misura \(2x\). Internamente al rombo viene costruito il quadrato \(AECF\) avente la diagonale \(AC\) in comune con il rombo.  Determina \(x\) in modo che l’area della regione compresa tra il quadrato e il rombo sia massima.

3) Considera un parallelepipedo rettangolo i cui spigoli di base misurano \(8\) e \(6\) e la cui altezza misura \(x\). Da tale parallelepipedo viene tolto il cubo di spigolo che misura \(x\). Per quale valore di \(x\) il prisma che ne risulta ha massimo volume?

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

nel primo caso indichiamo con \(x\) la misura dell’angolo che la scala forma col terreno, con \(0<x<\pi/2\). Detta \(L\) la lunghezza della scala, si ha:      \[L\cos x=0,5+\frac{3\cos x}{\sin x}\to L\left( x \right)=\frac{0,5}{\cos x}+\frac{3}{\sin x}\quad .\] Deriviamo la funzione \(L\left( x \right)\) e studiamo zeri e segno della sua derivata: \[L'\left( x \right)=\frac{0,5\sin x}{{{\cos }^{2}}x}-\frac{3\cos x}{{{\sin }^{2}}x}=\frac{0,5{{\sin }^{3}}x-3{{\cos }^{3}}x}{{{\cos }^{2}}x{{\sin }^{2}}x}\to \] \[\to {L}'\left( x \right)=0\leftrightarrow {{\tan }^{3}}x=6\to x=\arctan \sqrt[3]{6}\approx {{61,17}^{{}^\circ }}\] e tale valore è il minimo cercato, come si può dedurre dal segno di \(L’(x)\).

Nel secondo caso, supponendo \(0<x\le a\frac{\sqrt{2}}{2}\) affinchè il quadrato resti inscritto nel rombo, si può ricavare la differenza tra le aree in termini di \(x\) e procedere con la derivazione:

\[S\left( x \right)=2x\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}-2{{x}^{2}}\to S'\left( x \right)=\frac{2{{a}^{2}}-4{{x}^{2}}-4x\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}\to \]\[\to S'\left( x \right)=0\leftrightarrow 2x\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}={{a}^{2}}-2{{x}^{2}}\to x=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}a\quad .\]Quella trovata è l’unica soluzione accettabile, corrispondente, come si può verificare dall’analisi del segno della derivata, al massimo cercato.

Nell’ultimo caso, posto che \(0\le x\le 6\), il volume del prisma è dato da \(V\left( x \right)=48x-{{x}^{3}}\),per cui: \[V'\left( x \right)=48-3{{x}^{2}}\to V'\left( x \right)=0\leftrightarrow x=4\]

corrispondente al massimo cercato.                                

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Caro professore,

come si costruisce la figura di questo solido?

Un tetraedro \(ABCV\) si è ottenuto da un cono circolare retto avente raggio \(r\) e altezza \(h\) secando il cono con tre piani passanti per il vertice \(V\). Di tali piani uno contiene il diametro \(BC\) del cerchio base e uno stacca su quest’ultimo una corda che è i \(10/13\) di \(r\). Si esprimano per mezzo di \(r\) e di \(h\) le lunghezze dei sei spigoli, le aree delle quattro facce, il volume del tetraedro, la superficie totale del solido.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

mi sembra che la figura a lato illustri a sufficienza la costruzione: la faccia contenente il diametro \(BC\) è perpendicolare al piano di base, mentre le altre due sono i triangoli isosceli \(BVA\) e \(AVC\), aventi per basi i cateti \(BA=\frac{10}{13}r\) e \(AC=\frac{24}{13}r\)del triangolo rettangolo di ipotenusa \(AB=2r\) inscritto nel cerchio di base. Quindi: \[BC=2r,BV=AV=VC=\sqrt{{{h}^{2}}+{{r}^{2}}},BA=\frac{10}{13}r,AC=\frac{24}{13}r\] \[{{S}_{BCV}}=rh,{{S}_{ABV}}=\frac{5r}{169}\sqrt{169{{h}^{2}}+144{{r}^{2}}}\] \[{{S}_{ACV}}=\frac{12r}{169}\sqrt{169{{h}^{2}}+25{{r}^{2}}},{{S}_{ABC}}=\frac{120{{r}^{2}}}{169}\] \[{{V}_{ABCV}}=\frac{40}{169}{{r}^{2}}h\] e naturalmente la superficie totale del tetraedro non è altro che la somma delle aree delle quattro facce.

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Caro professore,

la prego di aiutarmi a capire questo quesito:

Un parallelogramma ha un vertice in \(P(4,2)\) e uno dei suoi lati appartenente alla retta di equazione \(3y+2x+3=0\). Sapendo che la sua area misura \(34\), calcola la misura della base.

Si possono conoscere le coordinate degli altri vertici del parallelogramma?

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

detti \(Q\), \(R\) e \(S\) gli altri tre vertici del parallelogramma, la condizione richiesta impone o al lato \(QR\) o al lato \(RS\) di appartenere alla retta  \(3y+2x+3=0\); comunque sia, tale lato, diciamo \(RS\), è la base la cui altezza relativa è la distanza \(PH\) di \(P\) dalla retta stessa, e tale distanza è:          \[\overline{PH}=\frac{\left| 6+8+3 \right|}{\sqrt{13}}=\frac{17\sqrt{13}}{13}\] per cui la base deve avere misura \(b\) tale che\[b\cdot \frac{17\sqrt{13}}{13}=34\to b=2\sqrt{13}\quad .\]

Poiché il lato \(PQ\) deve anch’esso misurare \(2\sqrt{13}\) e appartenere alla retta per \(P\) parallela a  \(3y+2x+3=0\), vi sono due possibili posizioni per il vertice \(Q\), ma il lato \(RS\) può essere collocato ovunque sulla retta \(3y+2x+3=0\), senza che questo modifichi l’area del parallelogramma, quindi non è possibile conoscere univocamente le coordinate dei vertici \(Q\), \(R\) e \(S\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Marco la seguente domanda:

Gentile professore,

vorrei che mi aiutasse a risolvere i seguenti esercizi (n.31 e n.32, pag.1126, Matematica.azzurro vol.V):

1) Disegna il grafico della funzione:

\[f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x+4\quad x< -1 \\ 2^{x-1} \quad x \ge -1  \end{array} \right.\]

Indica il codominio di \(f(x)\) e calcola \(f(-5)\), \(f(-1)\), \(f(0)\), \(f(2)\). Trova poi per quali valori di \(x\) si ha \(f(x)=8\) e \(f(x)=-4\).

2) Traccia il grafico della funzione:

\[f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{x} \quad x\le 2 \\ x^2-8x+12 \quad x   \end{array} \right.\]

Dal grafico deduci il dominio e il codominio di \(f(x)\). Calcola \(f(-1)\), \(f(2)\), \(f(4)\) e trova per quali valori di \(x\) si ha \(f(x)=0\) e \(f(x)=5\).

Gli rispondo così:

Caro Marco,

nel primo caso, il grafico è composto dall’unione di una semiretta e di un ramo di esponenziale, con una discontinuità nel punto di ascissa \(x=-1\); il codominio è tutto \(\mathbb{R}\) e si ha:      \[f\left( -5 \right)=-1,\quad f\left( -1 \right)={{2}^{-2}}=\frac{1}{4},\quad f\left( 0 \right)=\frac{1}{2},\quad f\left( 2 \right)=2\] e inoltre \(f\left( x \right)=8\) si può dare solo se \({{2}^{x-1}}=8={{2}^{3}}\), cioè per \(x=4\), mentre \(f\left( x \right)=-4\) si può dare solo se \(x+4=-4\), cioè per \(x=-8\).

Nel secondo caso, il grafico è composto dall’unione di una porzione di iperbole equilatera, avente gli assi coordinati per asintoti, e di un ramo di parabola, con una discontinuità nel punto di ascissa \(x=2\); il dominio è \(\mathbb{R}-\left\{ 0 \right\}\), il codominio è l’insieme \(\left\{ y\in \mathbb{R}:y<0\vee y\ge \frac{1}{2} \right\}\), e si ha: \[f\left( -1 \right)=-1,\quad f\left( -1 \right)=\frac{1}{2},\quad f\left( 4 \right)=-4\] e inoltre \(f\left( x \right)=0\) si può dare solo se \({{x}^{2}}-8x+12=0\) con \(x>2\), cioè per \(x=6\), mentre \(f\left( x \right)=5\) si può dare sia se \(\frac{1}{x}=5\), cioè per \(x=\frac{1}{5}\), sia se \({{x}^{2}}-8x+12=5\), cioè per \(x=7\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Caro professore,

le chiedo di aiutarmi a capire questo quesito:

In un giardino pubblico ci sono tre panchine, ciascuna a due posti. Una persona arriva e si siede a caso su una panchina. Successivamente arriva una seconda persona, anche essa si siede a caso su una panchina. Qual è la probabilità che le due persone si trovino sedute sulla stessa panchina?

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

la probabilità è \(\frac{1}{3}\): infatti, qualunque sia la panchina già occupata dal primo arrivato, la probabilità che, scegliendo a caso fra tre possibilità equivalenti, il secondo si sieda proprio su quella panchina è pari a \(\frac{1}{3}\). Allo stesso risultato possiamo pervenire anche in questo modo: se indichiamo con \(A\), \(B\) e \(C\) le tre panchine, la probabilità che il \(1{}^\circ\) scelga la panchina \(A\) è \(\frac{1}{3}\), quindi la probabilità che sia il \(1{}^\circ\) che il \(1{}^\circ\) scelgano la panchina \(A\), essendo i due eventi indipendenti, è \(\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\), cioè \(\frac{1}{9}\), e lo stesso se si fossero seduti entrambi su \(B\) o su \(C\), per cui, in totale, la probabilità che entrambi siedano sulla stessa panchina è \(\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Carlo la seguente domanda:

Salve professore,

nel compito in classe di oggi c’erano questi problemi:

1) In una semicirconferenza di diametro \(AB=2r\) è condotta una corda \(AC\) tale che \(B\hat{A}C=30{}^\circ\). Considerato un punto \(P\) sull’arco \(AC\), e condotta da \(C\) la tangente \(t\) alla curva, siano \(H\) e \(I\) le proiezioni di \(P\) rispettivamente su \(AC\) e \(t\). Calcola il limite del rapporto \(\frac{CI}{PH}\), e il limite del rapporto \(\frac{PI}{HC}\)  al tendere di \(P\) a \(C\).

2) Un triangolo isoscele \(ABC\) ha la base \(AB=2a\) e l’angolo al vertice \(C=20{}^\circ\). Detti \(O\) il punto medio della base e \(P\) un punto generico del lato \(AC\), calcola il limite del rapporto \(\frac{OP-AO}{AP}\) al tendere di \(P\) ad \(A\).

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Carlo,

nel primo caso, posto \(x=C\hat{A}P\), con \(0\le x \le 60{}^\circ\), e considerato che \(A\hat{P}C=120{}^\circ\), \(A\hat{C}P=60{}^\circ –x\) e \(P\hat{C}I=x\), per il teorema della corda si ha \(PC=2r\sin x\), da cui:

\[CI=PC\cos x=2r\sin x\cos x\] \[PH=PC\sin \left( 60{}^\circ -x \right)=r\sin x\left( \sqrt{3}\cos x-\sin x \right)\]  \[PI=PC\sin x=2r{{\sin }^{2}}x\] \[HC=PC\cos \left( 60{}^\circ -x \right)=r\sin x\left( \cos x+\sqrt{3}\sin x \right)\]

e pertanto:\[\underset{P\to C}{\mathop{\lim }}\,\frac{CI}{PH}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2\cos x}{\sqrt{3}\cos x-\sin x}=\frac{2}{\sqrt{3}}\]\[\underset{P\to C}{\mathop{\lim }}\,\frac{PI}{HC}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2\sin x}{\cos x+\sqrt{3}\sin x}=0\quad .\]

Nel secondo caso, posto \(x=A\hat{O}P\), con \(0\le x \le 90{}^\circ \), e considerato che \(P\hat{A}O=80{}^\circ\) e \(\sin(A\hat{P}O=\sin(80{}^\circ + x)\), applicando il teorema dei seni al triangolo \(APO\) si ha:   \[\frac{OP}{\sin 80{}^\circ }=\frac{AO}{\sin \left( 80{}^\circ +x \right)}\to OP=a\frac{\sin 80{}^\circ }{\sin \left( 80{}^\circ +x \right)}\]\[\frac{AP}{\sin x}=\frac{AO}{\sin \left( 80{}^\circ +x \right)}\to AP=a\frac{\sin x}{\sin \left( 80{}^\circ +x \right)}\]

per cui: \[\underset{P\to A}{\mathop{\lim }}\,\frac{OP-AO}{AP}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin 80{}^\circ -\sin \left( 80{}^\circ +x \right)}{\sin x}=\]\[=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin 80{}^\circ \left( 1-\cos x \right)}{\sin x}-\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos 80{}^\circ \sin x}{\sin x}=\]\[0-\cos 80{}^\circ =\cos 80{}^\circ \approx -0,1736\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Caro professore,

la prego mi aiuti con questo quesito:

Il circocentro \(O\) di un triangolo isoscele \(ABC\) di base \(BC\) dista \(20\;cm\) dal vertice \(A\). Calcolare l’area della superficie ed il perimetro del triangolo sapendo che ciascuno dei lati congruenti misura \(32\;cm\). Indicato con \(H\) il piede dell’altezza relativa al lato \(BC\),  con \(D\) e \(E\) rispettivamente i punti medi dei lati \(AB\) e \(AC\), dimostrare che i punti \(B\), \(D\), \(O\) e \(H\) sono conciclici e che il quadrilatero \(ADOE\) è inscrittibile in una circonferenza.  Calcolare poi la misura del raggio del cerchio inscritto nel quadrilatero \(ADOE\), la superficie e il volume del solido generato dalla rotazione completa del quadrilatero \(BDOH\) intorno alla retta \(AH\).

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

poiché il triangolo \(BOA\) è isoscele, il punto medio \(D\) del lato \(AB\) lo divide in due triangoli rettangoli congruenti, con il cateto comune \(DO\) di misura \(12\); poiché i triangoli \(ADO\) e \(BAH\) sono simili, si ricava: \[\frac{AH}{AB}=\frac{AD}{AO}\to AH=\frac{128}{5}\to BH=\frac{96}{5}\] e quindi: \[2{{p}_{ABC}}=\frac{512}{5}\quad {{S}_{ABC}}=\frac{12288}{25}\quad .\] Che i punti \(B\), \(D\), \(O\) e \(H\) siano con ciclici, cioè che \(BDOH\) sia inscrittibile in una circonferenza, risulta immediatamente dal fatto che i triangoli \(BDO\) e \(BHO\) sono entrambi rettangoli con ipotenusa \(BO\) in comune, per cui appartengono a due semicirconferenze opposte di una stessa circonferenza di diametro \(BO\); per lo stesso motivo, risulta inscrittibile il quadrilatero         \(ADOE\), e \(AO\) costituisce il diametro della circonferenza circoscritta. Per ricavare il raggio \(r\) della circonferenza inscritta in tale quadrilatero, ricorriamo alla seguente formula: \[r=\frac{{{S}_{ADOE}}}{{{p}_{ADOE}}}=\frac{12\cdot 16}{12+16}=\frac{48}{7}\quad .\] Possiamo ricavare il volume del solido generato dalla rotazione intorno ad \(AH\) del quadrilatero \(BDOH\) come differenza tra il volume del cono generato dalla rotazione di \(ABH\) e il volume del doppio cono generato dalla rotazione di \(ADO\) intorno ad \(AO\):  \[V=\frac{1}{3}\pi \left[ {{\left( \frac{96}{5} \right)}^{2}}\frac{128}{5}-{{\left( \frac{48}{5} \right)}^{2}}20 \right]=\frac{316416}{125}\pi \ c{{m}^{3}}\] e la superficie totale è data da: \[S=\pi {{\left( \frac{96}{5} \right)}^{2}}+\pi \frac{96}{5}32+\pi \frac{48}{5}20-\pi \frac{48}{5}16=\frac{378816}{25}\pi \ c{{m}^{2}}\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Manola la seguente domanda:

Ill.mo Professore,

Le chiedo cortesemente un aiuto nella risoluzione del seguente esercizio:

Data la funzione           \[f\left( x \right)=x\left| 3+\frac{1}{\ln \left( 2x \right)} \right|\]

a) determinarne il dominio, calcolarne i limiti agli estremi e determinare eventuali asintoti;

b) studiarne la prolungabilità agli estremi del dominio e la derivabilità;

c) calcolare \(f’\) e determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di \(f\);

d) calcolare i limiti significativi di \(f’\);

e) disegnarne un grafico qualitativo di \(f\) (non si richiedono il calcolo della derivata seconda e lo studio della concavità e della convessità).

La ringrazio vivamente per la Sua disponibilità.

Le rispondo così:

Cara Manola,

riguardo al dominio, si deve avere \(2x>0\) e \(2x\ne 1\), da cui \({{D}_{f}}=\left] 2,+\infty  \right[-\left\{ \frac{1}{2} \right\}\), per cui si calcolano i seguenti limiti: \[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,x\left| 3+\frac{1}{\ln \left( 2x \right)} \right|=0\left( 3+\frac{1}{-\infty } \right)=0\left( 3+0 \right)=0\]   \[\underset{x\to {{\frac{1}{2}}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,x\left| 3+\frac{1}{\ln \left( 2x \right)} \right|=\frac{1}{2}\left| 3+\frac{1}{\ln \left( {{1}^{-}} \right)} \right|=\frac{1}{2}\left| 3+\frac{1}{{{0}^{-}}} \right|=\frac{1}{2}\left| 3-\infty  \right|=+\infty\]    \[\underset{x\to {{\frac{1}{2}}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,x\left| 3+\frac{1}{\ln \left( 2x \right)} \right|=\frac{1}{2}\left| 3+\frac{1}{\ln \left( {{1}^{+}} \right)} \right|=\frac{1}{2}\left| 3+\frac{1}{{{0}^{+}}} \right|=\frac{1}{2}\left| 3+\infty  \right|=+\infty\] \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,x\left| 3+\frac{1}{\ln \left( 2x \right)} \right|=+\infty \left| 3+\frac{1}{+\infty } \right|=+\infty \left| 3+0 \right|=+\infty\]

per cui il grafico di \(f(x)\) presenta un asintoto verticale per \(x=\frac{1}{2}\), è prolungabile per continuità in \(x=0\), posto \(f(0)=0\), mentre non è presente un asintoto obliquo, infatti:

\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left| 3+\frac{1}{+\infty } \right|=3\to \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( f\left( x \right)-3x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\ln \left( 2x \right)}=+\infty \quad .\]

Poiché \(3+\frac{1}{\ln \left( 2x \right)}\) è minore di \(0\) per \(x\in \left] \frac{1}{2\sqrt[3]{e}},\frac{1}{2} \right[\), il grafico di \(f(x)\) presenta in \(x=\frac{1}{2\sqrt[3]{e}}\) un punto di non derivabilità del tipo punto angoloso, oltre che uno zero per la funzione stessa; infatti:

\[f'\left( x \right)=\frac{3{{\ln }^{2}}\left( 2x \right)+\ln \left( 2x \right)-1}{{{\ln }^{2}}\left( 2x \right)}\quad 0<x<\frac{1}{2\sqrt[3]{e}}\vee x>\frac{1}{2}\]\[f'\left( x \right)=-\frac{3{{\ln }^{2}}\left( 2x \right)+\ln \left( 2x \right)-1}{{{\ln }^{2}}\left( 2x \right)}\quad \frac{1}{2\sqrt[3]{e}}<x<\frac{1}{2}\]per cui, posto \({{x}_{1}}=\frac{1}{2\sqrt[3]{e}}\), si ha:

\[\underset{x\to {{x}_{1}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f'\left( x \right)=-9\ne 9=\underset{x\to {{x}_{1}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f'\left( x \right)\quad .\]

L’analisi del segno della derivata prima conduce alla conclusione che \(f(x)\) sia monotona crescente nei seguenti intervalli: \[\left] 0,\frac{1}{2\sqrt[6]{{{e}^{\sqrt{13}+1}}}} \right[\cup \left] \frac{1}{2\sqrt[3]{e}},\frac{1}{2} \right[\cup \left] \frac{\sqrt[6]{{{e}^{\sqrt{13}-1}}}}{2},+\infty  \right[\]e monotona decrescente altrove, per cui il grafico presenta un massimo relativo per \(x=\frac{1}{2\sqrt[6]{{{e}^{\sqrt{13}+1}}}}\) e un minimo relativo per \(x=\frac{\sqrt[6]{{{e}^{\sqrt{13}-1}}}}{2}\); un secondo minimo, relativo e anche assoluto, è presente nel punto angoloso di ascissa \(x=\frac{1}{2\sqrt[3]{e}}\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Vincenzo la seguente domanda:

Gent.mo Professore,

non riesco a risolvere i seguenti esercizi:

1) Calcolare il limite

\[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\arctan \left( {{x}^{4}} \right)\ln x-1+\sin \left( {{x}^{2}} \right)+\cos \left( 1-{{e}^{\sqrt{2}x}} \right)}{\sinh x-{{x}^{a}}}\]

al variare del parametro \(a>0\);

2) Calcolare l’integrale

                     \[\int\limits_{\frac{2}{\pi }}^{+\infty }{\frac{1}{{{x}^{4}}}\sin \left( \frac{1}{x} \right)}dx\quad .\]

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Vincenzo,

per quanto riguarda il limite, osserviamo innanzitutto che, dati gli sviluppi di Taylor degli infinitesimi \(\sin \left( {{x}^{2}} \right)\), \(\cos \left( 1-{{e}^{\sqrt{2}x}} \right)-1\),  \(\sinh x\), cioè: \[\sin \left( {{x}^{2}} \right)={{x}^{2}}-\frac{1}{6}{{x}^{6}}+...\quad \cos \left( 1-{{e}^{\sqrt{2}x}} \right)-1=-{{x}^{2}}-\sqrt{2}{{x}^{3}}-{{x}^{4}}+...\quad \sinh x=x+\frac{{{x}^{3}}}{6}+...\]possiamo porre la seguente equivalenza asintotica nel limite per \(x\to 0\): \[\sin \left( {{x}^{2}} \right)+\cos \left( 1-{{e}^{\sqrt{2}x}} \right)-1\sim -\sqrt{2}{{x}^{3}}\quad .\]

Inoltre, osserviamo che, essendo \(\arctan \left( {{x}^{4}} \right)\sim {{x}^{4}}\), la funzione \(\arctan \left( {{x}^{4}} \right)\ln x\) è a sua volta un infinitesimo, di ordine inferiore a \(4\) rispetto al campione \(x\) ma di ordine maggiore di \(4-\varepsilon \), per ogni \(\varepsilon>0\) per quanto piccolo (infatti \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\arctan ({{x}^{4}})\ln x}{{{x}^{4-\varepsilon }}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{\varepsilon }}\ln x \right)=0\): quindi possiamo trascurare il termine \(\arctan \left( {{x}^{4}} \right)\ln x\) al numeratore, che risulta asintoticamente equivalente a \(-\sqrt{2}{{x}^{3}}\). Pertanto, il denominatore \[\sinh x-{{x}^{a}}=x+\frac{{{x}^{3}}}{6}+...-{{x}^{a}}\]risulta di ordine inferiore rispetto al numeratore per qualunque \(a\ne 1\), e per \(a=1\) risulta equivalente a \(\frac{{{x}^{3}}}{6}\), per cui: \[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\arctan \left( {{x}^{4}} \right)\ln x-1+\sin \left( {{x}^{2}} \right)+\cos \left( 1-{{e}^{\sqrt{2}x}} \right)}{\sinh x-{{x}^{a}}}=0\quad \forall a>0,a\ne 1\] \[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\arctan \left( {{x}^{4}} \right)\ln x-1+\sin \left( {{x}^{2}} \right)+\cos \left( 1-{{e}^{\sqrt{2}x}} \right)}{\sinh x-{{x}^{a}}}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{-\sqrt{2}{{x}^{3}}}{\frac{1}{6}{{x}^{3}}}=-6\sqrt{2}\quad se\ a=1\quad .\]

Nel caso dell’integrale generalizzato, possiamo facilitarne il calcolo con un cambiamento di variabile, \(t=\frac{1}{x}\):

\[\underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{\frac{2}{\pi }}^{k}{\frac{1}{{{x}^{4}}}\sin \left( \frac{1}{x} \right)dx}=\underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{1}{k}}{-{{t}^{2}}\sin t\,dt}=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{h}^{\frac{\pi }{2}}{{{t}^{2}}\sin t\,dt}\]

e poichè, procedendo per parti:\[\int{{{t}^{2}}\sin t\,dt}=-{{t}^{2}}\cos t+2\int{t\cos t\,dt}=\]\[=-{{t}^{2}}\cos t+2\left( t\sin t-\int{\sin t\,dt} \right)=\left( 2-{{t}^{2}} \right)\cos t+2t\sin t+c\]si ha:\[\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{h}^{\frac{\pi }{2}}{{{t}^{2}}\sin t\,dt}=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left[ \left( 2-{{t}^{2}} \right)\cos t+2t\sin t \right]_{h}^{\frac{\pi }{2}}=\]\[=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left[ \pi -\left( 2-{{h}^{2}} \right)\cos \left( h \right)-2h\sin \left( h \right) \right]=\pi -2\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Roberto la seguente domanda:

Buongiorno Professore,

può spiegarmi come risolvere la seguente equazione:

Risolvere l’equazione \[\left| {{z}^{2}}\left( z-\left( \overline{z-4i} \right) \right) \right|=\left| z\cdot \bar{z}-z\left( z-4i \right) \right|\] e disegnare le soluzioni nel piano complesso.

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Roberto,

posto che \(\overline{z+w}=\bar{z}+\bar{w}\) e \(\left| w\cdot z \right|=\left| w \right|\cdot \left| z \right|\), possiamo dire:

\[\left| {{z}^{2}} \right|\left| \left( z-\left( \bar{z}-\overline{4i} \right) \right) \right|=\left| z \right|\left| \bar{z}-z+4i \right|\to \]\[\to \left| {{z}^{2}} \right|\left| z-\bar{z}-4i \right|=\left| z \right|\left| z-\bar{z}-4i \right|\to \]\[\to \left| z \right|\left| z-\bar{z}-4i \right|\left( \left| z \right|-1 \right)=0\to \]\[\to \left| z \right|=0\vee \left| z \right|=1\vee z-\bar{z}-4i=0\to \]\[\to z=0\vee \left\{ z=x+iy|{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1 \right\}\vee \left\{ z=x+iy|y=2 \right\}\] cioè le soluzioni dell’equazione sono rappresentate, nel piano complesso, dall’origine, dalla circonferenza unitaria e dalla retta \(y=2\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Riccardo la seguente domanda:

Gentile Professore,

ho trovato difficoltà nel risolvere questo limite (n.524, pag.1535, Matematica.blu 2.0): \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{2}^{x}}+{{\left( \frac{27}{10} \right)}^{x}}}{x+{{e}^{x}}}\quad .\]

Ho raccolto \(e^x\) sia al numeratore che al denominatore semplificando l’\(e^x\) raccolto. A questo punto il numeratore ha valore \(0\). Ma non riesco a trovare il limite del denominatore \(1+ (x/e^x)\) perchè non posso applicare nè infiniti o infinitesimi, nè de l’Hospital, in quanto l’esercizio viene prima di questi argomenti nel testo. Ho provato a sfruttare il limite notevole \((e^x-1)/x\) ma qui la \(x\) tende ad infinito e non a zero.

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Riccardo,

certo, non disponi ancora della dimostrazione necessaria a giustificarlo (che necessita del teorema di de l’Hospital, come giustamente osservi), ma nel testo si anticipa un’utile “gerarchia” degli infiniti esponenziali e polinomiali, assumendo per vero, tra l’altro, il seguente teorema: \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}^{x}}}{{{x}^{\alpha }}}=+\infty ,\quad \forall a>1,\forall \alpha >0\] per cui, in particolare: \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}}{x}=+\infty \to \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{{{e}^{x}}}=0\quad .\] Per quanto riguarda il limite in questione, comunque, suggerirei di risolverlo raccogliendo a fattor comune l’infinito d’ordine superiore sia al numeratore che al denominatore, in pratica riducendo il limite al confronto tra questi:

\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{2}^{x}}+{{\left( \frac{27}{10} \right)}^{x}}}{x+{{e}^{x}}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( \frac{27}{10} \right)}^{x}}\left( 1+{{\left( \frac{20}{27} \right)}^{x}} \right)}{{{e}^{x}}\left( 1+\frac{x}{{{e}^{x}}} \right)}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{2,7}{2,718..} \right)}^{x}}\frac{\left( 1+{{\left( \frac{20}{27} \right)}^{x}} \right)}{\left( 1+\frac{x}{{{e}^{x}}} \right)}=\]\[=0\frac{\left( 1+0 \right)}{\left( 1+0 \right)}=0\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Caro professore,

la prego di risolvere questi quesiti:

1) La circonferenza inscritta nel triangolo \(ABC\) ha il raggio lungo \(3a\sqrt{2}\) e tocca il lato \(AB\) nel punto \(T\) che dista \(6a\) da \(B\). Sapendo che \(AT=BC\), determinare il perimetro del triangolo \(ABC\).

2) Nel triangolo \(ABC\) la bisettrice dell’angolo \(\hat{C}\) interseca \(AB\) nel punto \(D\) che dista \(6\;cm\) da \(A\) e \(8\;cm\) da \(B\). Determinare il perimetro del triangolo \(ABC\) sapendo che la perpendicolare in \(D\) ad \(AB\) è tangente alla circonferenza in esso inscritta.

3) Nella semicirconferenza di diametro \(AB\) è inscritto il trapezio isoscele \(ABCD\) la diagonale \(AC\) interseca \(DH\) nel punto \(T\) che dista \(3\;cm\) da \(A\) e \(cm\;21\) da \(C\). Determina il perimetro e l’area del trapezio.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

con riferimento alle figure, nel primo caso, utilizzando la congruenza dei segmenti di tangente condotti da un punto esterno ad una circonferenza, la relazione tra area \(S\), semiperimetro \(p\) e raggio \(r\) della circonferenza inscritta, cioè \(S=r\cdot p\), nonché la formula di Erone per l’area del triangolo di lati \(a\), \(b\) e \(c\)\[S=\sqrt{p\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)}\to p{{r}^{2}}=\]\[\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)\] possiamo ricavare dalle ipotesi, avendo posto \(x=CR=CS\), \(y=AT=AS\), il seguente sistema di equazioni: \[\left\{ \begin{array}{ll} y=x+6a \\ 18a^2(6a+x+y)=6axy   \end{array} \right.\] da cui: \[{{x}^{2}}+6ax=36{{a}^{2}}+6ax\to x=6a,\ y=12a\to 2p=48a\quad .\]

Nel secondo caso, posto \(x=AT=AQ\), \(y=TB=BS\), \(z=CS=CQ\), e avendo osservato che, in base alle ipotesi, si ha \(TD=OR=OT=r\), essendo \(r\) il raggio della circonferenza inscritta, possiamo ricavare il seguente sistema di equazioni, dopo avere ricordato che, per il teorema della bisettrice, \(AC:AD=BC:BD\): \[\left\{ \begin{array}{llll} x+y=14 \\ 4(z+x)=3(z+y) \\ r+x=6 \\ r^2(x+y+z)=xyz   \end{array} \right.\] da cui, per progressiva sostituzione, si ottiene la seguente equazione per \(x\), con \(0 <x <6\):            \[{{\left( 6-x \right)}^{2}}\left( 14+7\left( 6-x \right) \right)=7x\left( 14-x \right)\left( 6-x \right)\to \] \[\to \left( 6-x \right)\left( 8-x \right)=x\left( 14-x \right)\to {{x}^{2}}-14x+24=0\to x=2\]

e pertanto:\[y=12,\ z=28\to 2p=84\quad .\]

Nell’ultimo caso, posto \(HO=OK=DG=GC=x\) e \(AH=BK=y\), la similitudine dei triangoli \(AHT\) e \(TDC\) e la congruenza \(r=OC=OB=OK+BK\), nonché il teorema di Pitagora applicato ai triangoli \(ACK\) e \(OCK\), permettono di ottenere il seguente sistema di equazioni:\[\left\{ \begin{array}{lll} x+y=r \\ 2x=7y \\ r+x=6 \\ r^2-x^2=24^2-(2x+y)^2  \end{array} \right.\]da cui:       \[\frac{81}{49}{{x}^{2}}-{{x}^{2}}={{24}^{2}}-4{{x}^{2}}-\frac{4}{49}{{x}^{2}}-\frac{8}{7}{{x}^{2}}\to \]\[\to \frac{288}{49}{{x}^{2}}={{24}^{2}}\to x=7\sqrt{2}\to y=2\sqrt{2}\]\[\to CK=8\to BC=AD=6\sqrt{2}\to 2p=44\sqrt{2}\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Caro professore,

come si risolve questo quesito?

Si lancia una moneta \(4\) volte. Se si indicano con Testa o Croce le due facce della moneta, calcola la probabilità:

1) che escano complessivamente tre volte Testa e una volta Croce;

2) esca la sequenza \(TTCC\);

3) sapendo che ai primi tre lanci è uscito \(CCC\), al quarto lancio esca ancora \(C\);

4) non esca mai due volte di seguito la stessa faccia.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

posto che entrambi gli eventi “esce Testa” e “esce Croce” hanno probabilità \(\frac{1}{2}\) di verificarsi ad ogni lancio della moneta, nel primo caso dobbiamo sommare le probabilità delle sequenze \(TTTC\), \(TTCT\), \(TCTT\) e \(CTTT\), ciascuna delle quali ha probabilità di verificarsi pari a \(\frac{1}{2} \cdot\frac{1}{2} \cdot\frac{1}{2} \cdot\frac{1}{2}= \frac{1}{16}\), per cui la probabilità complessivamente è pari a \(4\cdot\frac{1}{16}=\frac{1}{4}\).

Nel secondo caso, la particolare sequenza \(TTCC\) ha probabilità \(\frac{1}{2} \cdot\frac{1}{2} \cdot\frac{1}{2} \cdot\frac{1}{2}= \frac{1}{16}\).

Nel terzo caso, essendo ogni lancio indipendente dai precedenti, la probabilità che al quarto lancio esca \(C\) è sempre \(\frac{1}{2}\), indipendentemente dai risultati precedenti; lo stesso risultato si può ottenere anche dal calcolo della probabilità condizionata:    \[p\left(C\,al\,4{}^\circ |CCC \right)=\frac{p\left( CCCC \right)}{p\left( CCC \right)}=\frac{1/16}{1/8}=\frac{1}{2} .\]

Nell’ultimo caso, si debbono sommare le probabilità delle sequenze \(CTCT\) e \(TCTC\), ottenendo in totale \(\frac{1}{16}+\frac{1}{16} =\frac{1}{8}.\)

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Caro professore,

come vengono calcolati gli asintoti di questa funzione?

                                         \[f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}{{e}^{\frac{x}{x+1}}}}{x+1}\quad .\]

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

la funzione, definita e continua in \({{D}_{f}}=\mathbb{R}-\left\{ -1 \right\}\), presenta i seguenti limiti significativi:

\[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty \cdot e=-\infty \quad \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\infty \cdot e=+\infty \] \[\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\frac{1\cdot {{e}^{\frac{-1}{{{0}^{-}}}}}}{{{0}^{-}}}=\frac{{{e}^{+\infty }}}{{{0}^{-}}}=\frac{+\infty }{{{0}^{-}}}=-\infty \quad \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{t}{\left( 1+t \right)}\cdot \frac{t}{{{e}^{t}}}=1\cdot 0=0\] dove nell’ultimo limite si è effettuata la sostituzione \(t=-\frac{x}{x+1}\).

Pertanto, la retta \(x=-1\) costituisce, almeno da sinistra, un asintoto verticale per il grafico di \(f(x)\); non esistono invece asintoti orizzontali, ma vi è la possibilità che esistano asintoti obliqui. A tal fine, calcoliamo i seguenti limiti:

\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x{{e}^{\frac{x}{x+1}}}}{x+1}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{x+1}\cdot \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{e}^{\frac{x}{x+1}}}=\]\[=1\cdot e=e\]\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( f\left( x \right)-ex \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}{{e}^{\frac{x}{x+1}}}-e{{x}^{2}}-ex}{x+1}=\]\[=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}({{e}^{\frac{x}{x+1}}}-e)}{x+1}-\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{ex}{x+1}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{e{{x}^{2}}({{e}^{-\frac{1}{x+1}}}-1)}{x+1}-e=\]\[=-\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{e{{x}^{2}}({{e}^{\frac{1}{x+1}}}-1)}{{{e}^{\frac{1}{x+1}}}\left( x+1 \right)}-e =-\underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{e{{\left( 1-t \right)}^{2}}\left( {{e}^{t}}-1 \right)}{t{{e}^{t}}}-e=\]\[=-e\cdot \underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( {{e}^{t}}-1 \right)}{t}\cdot \underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( 1-t \right)}^{2}}}{{{e}^{t}}}-e=-2e\]

avendo posto \(t=\frac{1}{x+1}\). Poiché entrambi i limiti restano invariati anche per \(x\to -\infty \), possiamo dire che la retta \[y=ex-2e\] è asintoto obliquo per il grafico di \(f(x)\) ad entrambi gli estremi della retta stessa.

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Caro professore,

mi può far vedere lo studio di questa funzione:

                                                      \[f\left( x \right)=\frac{{x+e}}{1+\ln x}\quad .\]

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

la funzione, definita per \(x\in {{D}_{f}}=\left] 0,+\infty  \right[-\left\{ {{e}^{-1}} \right\}\), positiva per \(x>{{e}^{-1}}\), negativa per \(0<x<{{e}^{-1}}\) e mai nulla, ammette i seguenti limiti significativi:         \[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+e}{1+\ln x}=\frac{e}{-\infty }=0\quad \underset{x\to {{\frac{1}{e}}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+e}{1+\ln x}=\]\[=\frac{{{e}^{-1}}+e}{1+{{\left( -1 \right)}^{-}}}=\frac{{{e}^{-1}}+e}{{{0}^{-}}}=-\infty \]

\[\underset{x\to {{\frac{1}{e}}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+e}{1+\ln x}=\frac{{{e}^{-1}}+e}{{{0}^{+}}}=+\infty \quad \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x+e}{1+\ln x}=\]\[=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\ln x}=+\infty \quad .\]

Si ha quindi un asintoto verticale per \(x={{e}^{-1}}\), mentre non si ha un asintoto obliquo per \(x\to +\infty \) poiché si ha \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1+e/x}{1+\ln x}=0\quad .\]

Poiché la derivata \[f'\left( x \right)=\frac{x\ln x-e}{x{{\left( 1+\ln x \right)}^{2}}}\] si annulla per \(x=\bar{x}\approx 2,72\), soluzione dell’equazione trascendente \(x\ln x=e\), e tale derivata è negativa per \(0<x<{{e}^{-1}}\vee {{e}^{-1}}<x<\bar{x}\), positiva per \(x>\bar{x}\), si conclude che in \(x=\bar{x}\) la funzione presenta un minimo relativo, il cui valore è \(f\left( {\bar{x}} \right)=\bar{x}\).

Si osserva anche che\[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f'\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln x}{{{\left( 1+\ln x \right)}^{2}}}-\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{e}{x{{\left( 1+\ln x \right)}^{2}}}=0-\infty =-\infty \quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Caro professore,

la prego, mi aiuti a spiegare questo quesito:

Un mosaico ha la forma di un triangolo equilatero il cui lato è \(20\;cm\).  Ogni piastrella del mosaico è a forma di triangolo equilatero il cui lato è \(1\;cm\). Le piastrelle gialle e azzurre si alternano all’interno del triangolo equilatero. Quante piastrelle di ciascun colore ci sono nel mosaico?

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

in generale, detto \(n\) il numero di piastrelle che sono allineate lungo un lato del mosaico triangolare (nel nostro caso \(n=20\)), si ha che il numero totale di piastrelle è pari a \(n^2\); tale numero è la somma di due termini: il primo è la somma \(S_n\) dei primi \(n\) termini della progressione aritmetica \(1,2,3,…,n\), che fornisce il numero delle piastrelle del colore assegnato alla prima piastrella in basso a sinistra, il secondo è la somma \({{S}_{n-1}}\) dei primi \(n-1\) termini della stessa progressione aritmetica \(1,2,3,…,n\), che fornisce il numero delle piastrelle dell’altro colore. Pertanto:            \[{{S}_{n}}=1+2+3+...+n=\frac{n\left( n+1 \right)}{2}\quad {{S}_{n-1}}=\frac{n\left( n-1 \right)}{2}\to {{S}_{n}}+{{S}_{n-1}}={{n}^{2}}\quad .\]

Nel nostro caso, supponendo di avere scelto di colorare in azzurro la prima piastrella in basso a sinistra, si ha:

\[\text{n }\!\!{}^\circ\!\!\text{  azzurre}={{S}_{20}}=\frac{20\cdot 21}{2}=210\quad \text{n }\!\!{}^\circ\!\!\text{  gialle}={{S}_{19}}=\frac{19\cdot 20}{2}=190\quad .\]

Massimo Bergamini