Ricevo da Elena la seguente domanda:

Salve,

ho riscontrato alcune difficoltà di comprensione nel seguente esercizio (n.259, pag.2052, Matematica.blu 2.0):

Calcola le aree delle regioni di piano comprese tra le curve di equazioni \(y={{x}^{3}}\) e \(y=\sqrt{2-{{x}^{2}}}\) e l’asse delle ascisse.

Grazie

Le rispondo così:

Cara Elena,

le regioni in questione sono le due parti \(S_1\) e \(S_2\) in cui la semicirconferenza di raggio \(\sqrt{2}\) centrata nell’origine di equazione \(y=\sqrt{2-{{x}^{2}}}\) risulta suddivisa dall’arco \(CA\) della curva \(y={{x}^{3}}\): una volta calcolata l’area di \(S_1\) come somma dei sottografici di tale arco \(CA\) e dell’arco di circonferenza di estremi \(A(1;1)\) e \((\sqrt{2},0)\), l’area di \(S_2\) si ricava per sottrazione dall’area della semicirconferenza, cioè \(\pi\).

Si ha pertanto: \[{{S}_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}dx+\int\limits_{1}^{\sqrt{2}}{\sqrt{2-{{x}^{2}}}dx}}=\left[ \frac{1}{4}{{x}^{4}} \right]_{0}^{1}+\sqrt{2}\int\limits_{1}^{\sqrt{2}}{\sqrt{1-{{\left( \frac{x}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}}dx}=\]\[=\frac{1}{4}+2\int\limits_{\pi /4}^{\pi /2}{{{\cos }^{2}}t\,dt}=\frac{1}{4}+\int\limits_{\pi /4}^{\pi /2}{\left( 1+\cos 2t \right)\,dt}=\]\[=\frac{1}{4}+\left[ t+\sin t\cos t \right]_{\pi /4}^{\pi /2}=\frac{1}{4}+\left( \frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2} \right)=\frac{\pi -1}{4}\quad .\]Ne consegue:\[{{S}_{2}}=\pi -{{S}_{1}}=\pi -\frac{\pi -1}{4}=\frac{3\pi +1}{4}\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Annalisa la seguente domanda:

Caro Professore,

non riesco a risolvere questo esercizio:

Un medico prescrive \(200\;mg\) di antibiotico ogni \(12\) ore. Inoltre ogni \(12\) ore la metà del farmaco presente nel sangue viene eliminata.

A) Sia \(U_n\) la quantità in milligrammi di antibiotico presente nel sangue immediatamente dopo la \(n\)-esima dose (\(n=1\) corrisponde alla prima dose). Rappresenta \(U_n\) in forma ricorsiva e dimostra che ammette limite \(l\) e determina il valore di tale limite senza trovare il termine generale \(U_n\).

B) Verifica che la successione \(V_n=U_n-l\) è geometrica e scrivine il termine generale.

C) Deduci qual è il termine generale della successione e ritrova, per calcolo diretto, il limite della successione \(U_n\) per \(n\) che tende a più infinito.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Annalisa,

possiamo esprimere la legge ricorsiva che definisce la successione \(U_n\) in questo modo:\[\left\{ \begin{array}{ll} U_1=200 \\ U_{n+1}=200+\frac{{{U}_{n}}}{2}  \end{array} \right. \]da cui si deduce che, poiché \(\underset{n+1\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{U}_{n+1}}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{U}_{n}}\):            \[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{U}_{n}}=200+\frac{1}{2}\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{U}_{n}}\to l=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{U}_{n}}=400\quad .\] La successione \(V_n=U_n-l\) risulta così definita in modo ricorsivo: \[\left\{ \begin{array}{ll} V_1=-200 \\ V_{n+1}=U_{n+1}-400=\frac{{{V}_{n}}}{2} \end{array} \right. \]per cui \(V_n\) risulta geometrica di ragione \(\frac{1}{2}\) e primo termine \(-200\): in modo esplicito, si ha            \[{{V}_{n}}=-200{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n-1}}\quad .\] Ne consegue che possiamo scrivere \(U_n\) esplicitamente come:

\[{{U}_{n}}=400+{{V}_{n}}=400-\frac{200}{{{2}^{n-1}}}\] verificando facilmente che \[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{U}_{n}}=400-\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{200}{{{2}^{n-1}}} \right)=400-0=400\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Francesco la seguente domanda:

Salve Professore,

la difficoltà di questo problema è generalizzare il modello, anche data l’ambiguità a mio parere dell’esercizio. Quale potrebbe essere un metodo di risoluzione?

Un’urna contiene \(3\) palline nere e \(4\) palline rosse. Calcola quanti sono i possibili gruppi da cinque palline che si possono ottenere se vengono estratte consecutivamente una dopo l’altra senza rimettere le palline estratte nell’urna. Calcola inoltre quanti di questi gruppi sono formati da due palline nere e tre rosse.

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Francesco,

una possibile interpretazione del problema mi pare la seguente: si considerino i gruppi di cinque palline come le possibili combinazioni di \(7\) oggetti distinti presi \(5\) a \(5\), cioè, ad esempio, si pensino le palline come dotate di un numero oltre che del colore (\(N_1\), \(N_2\), \(N_3\), \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\), \(R_4\)), e si contino tutte le cinquine non ordinate che si possono formare. Se infatti ci limitassimo a considerare le cinquine distinte solo per la composizione in termini di colore, avremmo solo tre cinquine possibili: \(4\) rosse e \(1\) nera, \(3\) rosse e \(2\) nere, \(2\) rosse e \(3\) nere, e non solo l’ultima domanda non avrebbe molto senso, ma sarebbe ovviamente un conteggio fuorviante se volessimo utilizzarlo per calcolare la probabilità di estrazione di una data composizione cromatica: è chiaro che le tre possibilità non sono equiprobabili. D’altra parte, considerare le cinquine estratte distinte anche per l’ordine di estrazione, significherebbe semplicemente moltiplicare per \(5!\) (permutazioni possibili all’interno di una data combinazione) il numero di gruppi possibili: ai fini di un calcolo delle probabilità di estrarre una  certa composizione non cambierebbe nulla.  

Abbiamo quindi che il numero totale di estrazioni che consideriamo distinte sono\[{{C}_{7,5}}=\frac{7!}{5!2!}=21\]di cui \(1\cdot {{C}_{3,1}}=3\) del tipo \(4\) rosse e \(1\) nera, \({{C}_{3,1}}\cdot {{C}_{4,1}}=3\cdot 4=12\) del tipo \(3\) rosse e \(2\) nere, \(1\cdot {{C}_{4,2}}=6\) del tipo \(2\) rosse e \(3\) nere.

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Caro professore,

mi aiuti a risolvere questo quesito:

la funzione \(f\left( x \right)=\left| {{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+4x \right|\) verifica le ipotesi del teorema di Rolle nell’intervallo chiuso \(\left[ 0,2 \right]\)? In caso affermativo determinare il punto in cui è verificata la tesi ed illustrare il significato geometrico del risultato ottenuto.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

la funzione, che può riscriversi in questo modo:\[f\left( x \right)=\left| x{{\left( x-2 \right)}^{2}} \right|=\left| x \right|{{\left( x-2 \right)}^{2}}\]è continua in tutti i punti dell’intervallo chiuso \(\left[ 0,2 \right]\) e derivabile in ogni punto interno a tale intervallo: infatti, la funzione è non derivabile (punto angoloso) solo nell’estremo \(x=0\), dove si ha:\[\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f'\left( x \right)=-4\ne \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f'\left( x \right)=4\quad .\] Poichè inoltre \(f(0)=f(2)=0\), le ipotesi del teorema di Rolle sono  soddisfatte e la tesi (esistenza di almeno un punto \(x=c\) interno all’intervallo in cui si abbia \(f’\left( c \right)=0\)) è verificata per \(c=\frac{2}{3}\), essendo, per \(x>0\):\[f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-8{{x}^{2}}+4=0\leftrightarrow x=\frac{2}{3}\ \vee \ x=2\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Caro professore,

è data una sfera di raggio \(r\). Dalla rotazione intorno a un diametro fisso di un secondo diametro usato come generatrice si ottengono due coni circolari retti con il vertice nel centro della sfera. Tra le infinite coppie di coni così generate determina quella di volume massimo.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

con riferimento alla figura, poniamo \(OH=x\), con \(0\le x\le r\), da cui \(AH=\sqrt{{{r}^{2}}-{{x}^{2}}}\), e di conseguenza, per quanto riguarda il volume \(V(x)\) del doppio cono: \[V\left( x \right)=\frac{2}{3}\pi x\left( {{r}^{2}}-{{x}^{2}} \right)\] per cui, derivando \(V(x)\) e analizzando zeri e segno della derivata nell’intervallo \(0\le x\le r\), si ottiene: \[V'\left( x \right)=\frac{2}{3}\pi \left( {{r}^{2}}-3{{x}^{2}} \right)\to V'\left( x \right)=0\leftrightarrow x=\frac{\sqrt{3}}{3}r\] da cui si conclude che, essendo \(V’\left( x \right)\) prima positiva poi negativa nell’intorno di \(x=\frac{\sqrt{3}}{3}r\), tale valore rappresenta il massimo cercato, cui corrisponde un volume \[{{V}_{\max }}=\frac{4\sqrt{3}}{27}\pi {{r}^{3}}\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Gisella la seguente domanda:

Buongiorno professore,

non riesco a risolvere la parte d) del seguente esercizio (n.69, pag.\(\alpha\) 85, Matematica.blu 2.0):

Si estraggono contemporaneamente tre carte da un mazzo di \(40\). Calcola la probabilità che si presentino: d) almeno due figure.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Gisella,

l’evento \(E\) = “su tre estratte almeno due sono figure” può essere visto come il complementare dell’evento: \(E_1\cup E_2\) = “su tre estratte nessuna è una figura” vel “su tre estratte una sola è una figura”, per cui:\[p\left( E \right)=1-\left( p\left( {{E}_{1}} \right)+p\left( {{E}_{2}} \right) \right)\quad .\]Si ha quindi, tenendo conto che \(E_2\) si può presentare in tre modalità equiprobabili a seconda dell’ordine di uscita della figura:          \[p\left( {{E}_{1}} \right)=\frac{28}{40}\cdot \frac{27}{39}\cdot \frac{26}{38}=\frac{63}{190}\quad p\left( {{E}_{2}} \right)=3\cdot \frac{12}{40}\cdot \frac{28}{39}\cdot \frac{27}{38}=\frac{567}{1235}\]per cui: \[p\left( E \right)=1-\left( \frac{63}{190}+\frac{567}{1235} \right)=1-\frac{1953}{2470}=\frac{517}{2470}\approx 20,93\%\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Maria Carla la seguente domanda:

Ch.mo Professor Bergamini,

non riesco a risolvere i seguenti problemi (n.17 pag.433 e n.22 pag.462, Matematica.blu 2.0 vol.3):

1) Data l’ellisse con l’asse maggiore sull’asse \(x\), di centro \(C(4,0)\), passante per l’origine e con eccentricità \(e=\frac{\sqrt{7}}{4}\), considera un punto \(P\) nell’arco di ellisse che si trova nel primo quadrante.

a) Esprimi \(s=P{{C}^{2}}+\frac{9}{16}P{{H}^{2}}\), con \(H\) proiezione di \(P\) sull’asse \(y\), in funzione dell’ascissa \(x\) di \(P\). Traccia il grafico della funzione ottenuta.

b) Per quale valore dell’ascissa di \(P\) viene assunto da \(s\) il valore minimo?

c) Quanto vale \(s\) quando \(P\) si trova nei vertici dell’ellisse?

2) Trova per quali valori di \(k\) l’equazione \(\frac{{{x}^{2}}}{4{{k}^{2}}-1}-\frac{{{y}^{2}}}{k-3}=1\) rappresenta:

a) un’ellisse;

b) una circonferenza;

c) un’iperbole;

d) un’iperbole con i fuochi sull’asse \(y\);

e) un’iperbole con i fuochi sull’asse \(y\) che ha distanza focale uguale a \(4\).

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Maria Carla,

nel primo caso, posto che l’ellisse ha parametri \(a^2=16\) e \(b^2=a^2(1-e^2)=9\), e quindi equazione \[\frac{{{\left( x-4 \right)}^{2}}}{16}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1\]si ha di conseguenza, essendo l’ordinata di \(P\) tale che \({{y}^{2}}=9-\frac{9}{16}{{\left( x-4 \right)}^{2}}\):\[s\left( x \right)=P{{C}^{2}}+\frac{9}{16}P{{H}^{2}}={{\left( x-4 \right)}^{2}}+9-\frac{9}{16}{{\left( x-4 \right)}^{2}}+\frac{9}{16}{{x}^{2}}=\]\[={{x}^{2}}-\frac{7}{2}x+16\quad \quad 0\le x\le 8\] che è un’arco di parabola con minimo nel vertice \(\left( \frac{7}{4},\frac{207}{16} \right)\), e che assume i valori \(16\), \(18\) e \(52\) rispettivamente in corrispondenza alle ascisse dei vertici \((0,0)\), \((4,3)\) e \((8,0)\) dell’ellisse.

Nel secondo caso, le varie condizioni si traducono in opportune disequazioni:

a) \(4{{k}^{2}}-1>0\ \wedge \ k-3<0\to k<-\frac{1}{2}\ \vee \ \frac{1}{2}<k<3\);

b) \(4{{k}^{2}}-1=3-k\ \wedge \  k<-\frac{1}{2}\ \vee \ \frac{1}{2}<k<3\to k=\frac{-1\pm \sqrt{65}}{8}\);

c) \(\left( 4{{k}^{2}}-1 \right)\left( 3-k \right)<0\to -\frac{1}{2}<k<\frac{1}{2}\ \vee \ k>3\);

d) \(4{{k}^{2}}-1<0\ \wedge \ k-3<0\to -\frac{1}{2}<k<\frac{1}{2}\);

e) \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4\to 1-4{{k}^{2}}+3-k=4\to 4{{k}^{2}}+k=0\to k=0\ \vee \ k=-\frac{1}{4}\).

 Massimo Bergamini

Ricevo da Giancarlo la seguente domanda:

Salve professore,

puo risolvermi questi tre problemi?

1) Un cono la cui altezza è \(3/2\) del diametro di base ha volume \(8\pi {{a}^{3}}\). Determina il volume della piramide quadrangolare regolare inscritta nel cono.

2) Un cono ha apotema di misura \(10a\) e raggio di base di misura \(6a\). La sezione del cono con un piano parallelo alla sua base ha area \(9\pi a^2\). Qual è il volume del tronco di cono che ha come basi la sezione del cono con il piano e la base?

3) Determina il rapporto tra il volume del cilindro equilatero inscritto in una sfera di raggio \(r\) e il volume della sfera .

Gli rispondo così:

Caro Giancarlo,

nel primo caso, detto \(r\) il raggio di base del cono e \(h\) l’altezza comune a cono e piramide, si ha \(h=3r\), per cui \[8\pi {{a}^{3}}=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\pi {{r}^{3}}\to r=2a\] e di conseguenza \(h=6a\). Detto \(l\) il lato del quadrato inscritto nella base del cono, si ha \(l=2\sqrt{2}a\), da cui il volume \(V\) della piramide:\[V=\frac{{{l}^{3}}h}{3}=\frac{8{{a}^{3}}\cdot 6a}{3}=16{{a}^{3}}\quad .\]

Nel secondo caso, si ha dalle ipotesi che l’altezza del cono misura \(8a\), e il raggio della sezione misura \(3a\), cioè la metà del raggio di base: per similitudine, si deduce che la distanza dal vertice di tale sezione è \(4a\), e quindi il volume \(V_T\) del tronco di cono si può calcolare come differenza tra il volume del cono e il volume di un cono simile con raggio di base e altezza pari alla metà di quelli del cono stesso, cioè con volume pari a \(1/8\) di quello del cono: ne consegue che \(V_T\) ha un volume pari a \(7/8\) di quello del cono:\[{{V}_{T}}=\frac{7}{8}\frac{\pi }{3}36{{a}^{2}}\cdot 8a=84\pi {{a}^{3}}\quad .\]

Nell’ultimo caso, poiché la sezione del cilindro equilatero è il quadrato inscritto nel cerchio massimo della sfera, e tale quadrato ha semilato \(R=\frac{\sqrt{2}r}{2}\), si ha, detti \(V_C\) il volume del cilindro e \(V_S\) il volume della sfera:\[{{V}_{C}}=2\pi {{R}^{3}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\pi {{r}^{3}},\ {{V}_{S}}=\frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}\to \frac{{{V}_{C}}}{{{V}_{S}}}=\frac{3}{8}\sqrt{2}\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Professore,

mi aiuti a risolvere questi quesiti.

1) È dato il triangolo rettangolo \(ABC\); l’ipotenusa \(BC\) è divisa dal punto \(P\) di contatto con la circonferenza inscritta in due parti che misurano \(4a\) e\(6a\). Dimostrare che il triangolo dato è equivalente al rettangolo di dimensioni \(BP\) e \(PC\). Calcolare poi in funzione di \(a\) la misura dell’altezza relativa all’ipotenusa, dei cateti, della mediana relativa all’ipotenusa e l’area della superficie ed il volume del solido generati dalla rotazione completa del triangolo intorno alla retta passante per \(A\) e parallella all ipotenusa. Che valore bisogna dare ad \(a\) affinché la superficie del cerchio inscritto nel triangolo sia \(58,0586\)?

2) In una circonferenza di centro \(O\) e diametro \(AB\) uguale a \(40\) è inscritto un esagono \(MNBPQA\) con i lati \(MN\) e \(PQ\) uguali \(11,2\) e paralleli al diametro \(AB\). Determinare perimetro e area dell’esagono. Si facciano ruotare poi il cerchio e l’esagono di \(180^\circ\) intorno alla retta \(AB\) e si determini il volume della parte di sfera non occupata dal solido generato dall’esagono.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

nel primo caso, come conseguenza della congruenza dei segmenti di tangente si deve avere, posto \(r\) il raggio della circonferenza inscritta nel triangolo \(ABC\), \(AB=r+6a\) e  \(AC=r+4a\), e applicando Pitagora: \[100{{a}^{2}}=2{{r}^{2}}+20ar+52{{a}^{2}}\to {{r}^{2}}+10ar-24{{a}^{2}}\to r=2a\] e quindi \(AB=8a\), \(AC=6a\), \(2\cdot BP\cdot PC =AB\cdot AC=48a^2\), \(AH=24a/5\), \(AQ=BC/2=5a\). In particolare, affinchè sia \(\pi r^2=58,0586\), si deve avere \(a=2,15\). Riguardo a superficie \(S\) e volume \(V\) del solido generato dalla rotazione di \(ABC\), si tratta di un cilindro di raggio di base pari ad \(AH\) ed altezza \(BC\) privato di due coni di uguale base, altezze \(BH\) e \(HC\), apotemi \(AB\) e \(AC\), per cui, essendo \(BH=\frac{32}{5}a\) e \(CH=\frac{18}{5}a\):\[S=\pi \frac{24}{5}a\cdot \frac{32}{5}a+\pi \frac{24}{5}a\cdot \frac{18}{5}a+2\pi \frac{24}{5}a\cdot 10a=144{{a}^{2}}\pi \]\[V=\pi {{\left( \frac{24}{5}a \right)}^{2}}\left( 10a-\frac{32}{15}a-\frac{18}{15}a \right)=\frac{768}{5}{{a}^{3}}\pi \quad .\]

Nel secondo caso, poiché \(OK=5,6\) e \(KB=14,4\), con Pitagora abbiamo \(PK=19,2\) e \(PB=NB=AM=AQ=24\), da cui perimetro \(2p\) e area \(S\) dell’esagono \(AMNBPQ\):\[2p=118,4\]\[S=p\cdot PH=59,2\cdot 19,2=1136,64\quad .\]Il solido che si ottiene per rotazione intorno ad \(AB\) dell’esagono è un cilindro sormontato da due coni, il cui volume \(V\) è dato da: \[V=\pi {{19,2}^{2}}\left( 11,2+\frac{2}{3}14,4 \right)=7667,712\pi\] e sottraendo tale volume a quello della sfera si ottiene il volume \(V’\) della parte residua:\[V'=\frac{4}{3}8000\pi -7667,712\pi \approx 9421,49\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Annalisa la seguente domanda:

Gentile professore,

come si definisce la trasformata di Laplace e come si applica alle equazioni differenziali?

Non riesco infatti a risolvere questo esercizio:

\[\left\{ \begin{array}{ll}x''− 2x' − 8x = e^{4t} \\ x(0)=0,\; x'(0)=0 \end{array} \right. \]

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Annalisa,

non potendo riassumere qui la teoria delle trasformate di Laplace, mi limito a ricordare che, detta \(x(t)\) una funzione reale definita e continua (almeno a tratti) per \(t\ge 0\), si definisce trasformata di Laplace o L-trasformata di \(x(t)\) la funzione \[L\left[ x(t) \right]=F\left( s \right)=\int\limits_{0}^{+\infty }{x\left( t \right){{e}^{-st}}dt}\]definita per tutti i valori reali di \(s\) per i quali l’integrale è convergente.

Per risolvere il problema di Cauchy assegnato, possiamo utilizzare le trasformate e le anti-trasformate di Laplace nel modo seguente, ricordando che l’operatore trasformata di Laplace \(L\) è lineare, come pure il suo inverso \({{L}^{-1}}\), e che valgono le seguenti: \(L\left[ x'\left( t \right) \right]=sF\left( s \right)-x\left( 0 \right)\), \(L\left[ {{e}^{4t}} \right]=\frac{1}{s-4}\):            \[L\left[ x''-2x'-8x \right]=L\left[ {{e}^{4t}} \right]\to sL\left[ x' \right]-x’\left( 0 \right)-2sF\left( s \right)+2x\left( 0 \right)-8F\left( s \right)=\frac{1}{s-4}\to \]\[\to {{s}^{2}}F\left( s \right)-sx\left( 0 \right)-x'\left( 0 \right)-2sF\left( s \right)+2x\left( 0 \right)-8F\left( s \right)=\frac{1}{s-4}\to \]\[\to F\left( s \right)\left( {{s}^{2}}-2s-8 \right)=\frac{1}{s-4}\to F\left( s \right)=\frac{1}{\left( s+2 \right){{\left( s-4 \right)}^{2}}}\]

e quindi, operando la scomposizione in fratti semplici: \[F\left( s \right)=\frac{1}{36\left( s+2 \right)}+\frac{10-s}{36{{\left( s-4 \right)}^{2}}}=\frac{1}{36\left( s+2 \right)}-\frac{1}{36\left( s-4 \right)}+\frac{1}{6{{\left( s-4 \right)}^{2}}}\quad .\]Se ora operiamo con l’anti-trasformata \({{L}^{-1}}\) otteniamo:

\[x\left( t \right)={{L}^{-1}}\left[ F\left( s \right) \right]=\frac{1}{36}{{L}^{-1}}\left[ \frac{1}{s+2} \right]-\frac{1}{36}{{L}^{-1}}\left[ \frac{1}{s-4} \right]+\frac{1}{6}{{L}^{-1}}\left[ \frac{1}{{{\left( s-4 \right)}^{2}}} \right]\to \]\[\to x\left( t \right)=\frac{1}{36}{{e}^{-2t}}-\frac{1}{36}{{e}^{4t}}+\frac{1}{6}t{{e}^{4t}}\]che, come si può verificare, rappresenta la soluzione del problema di Cauchy.

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Professore,

mi aiuta a capire come si calcolano le aree?

Studia la funzione \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{4}}}\). Dopo aver verficato che la parabola \(y=x^2-1\) è ad essa tangente nel punto di ascissa \(1\), trova l’equazione della tangente comune \(r\). Indicata con \(R_1\) la regione finita di piano delimitata dalla retta \(r\) e dalla parabola con l’asse delle ordinate e con \(R_2\) la regione illimitata definita dalla \(f(x)\) e dall’asse \(x\) nel primo quadrante, calcola il rapporto fra le rispettive aree.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

la funzione \(f(x)\), definita, continua e derivabile in \(\mathbb{R}-\left\{ 0 \right\}\), simmetrica rispetto all’asse \(y\), positiva per valori esterni all’intervallo \(-1\le x \le 1\), nulla in \(\pm 1\) e tendente a \(-\infty\) per \(x\) tendente a \(0\), ha derivate prima e seconda date da: \[f'\left( x \right)=\frac{2-{{x}^{2}}}{{{x}^{5}}}\quad \quad f'\left( x \right)=\frac{2\left( 3{{x}^{2}}-10 \right)}{{{x}^{6}}}\] da cui si deduce la presenza di due punti di massimo relativo, in \(\left( \pm \sqrt{2},\frac{1}{4} \right)\), e di due punti di flesso, in \(\left( \frac{\sqrt{30}}{3},\frac{21}{100} \right)\).La tangente al grafico di \(f(x)\) in \((1,0)\) ha equazione \(y=2x-2\), essendo \(f’(1)=2\), e tale retta è anche la tangente nello stesso punto alla parabola \(y=x^2-1\).

Per quanto riguarda le aree delle regioni \(R_1\) ed \(R_2\), si possono ricondurre ai seguenti integrali definiti, il secondo dei quali è di tipo improprio:\[{{R}_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{\left( x-1-2x+2 \right)dx=}\int\limits_{0}^{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}dx}=\]\[=\left[ \frac{1}{3}{{\left( x-1 \right)}^{3}} \right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}\]\[{{R}_{2}}=\underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{1}^{k}{\frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{4}}}dx}=\]\[\underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ -\frac{1}{x}+\frac{1}{3{{x}^{3}}} \right]_{1}^{k}=\underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -\frac{1}{k}+\frac{1}{3{{k}^{3}}}+\frac{2}{3} \right)=\frac{2}{3}\quad .\]

Pertanto \(R_2/R_1=2\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Angela la seguente domanda:

Caro professore,

sono alle prese con la seguente equazione differenziale (n.208, pag.1506, Matematica.verde vol.5); arrivata alla derivata seconda comincio a perdermi nei calcoli:\[y''-4y'+4y=\left( x-1 \right){{e}^{2x}}\quad .\] Grazie!

Le rispondo così:

Cara Angela,

essendo \(2\) una radice doppia dell’equazione caratteristica associata, proviamo a cercare un integrale particolare della forma \(\bar{y}={{x}^{2}}\left( ax+b \right){{e}^{2x}}\). Deriviamo:            \[\bar{y}'=\left( 2a{{x}^{3}}+\left( 3a+2b \right){{x}^{2}}+2bx \right){{e}^{2x}}\]\[\bar{y}''=\left( 4a{{x}^{3}}+\left( 12a+4b \right){{x}^{2}}+\left( 6a+8b \right)x+2b \right){{e}^{2x}}\]da cui, sostituendo nell’equazione:\[{{e}^{2x}}\left( 4a{{x}^{3}}+\left( 12a+4b \right){{x}^{2}}+\left( 6a+8b \right)x+2b-8a{{x}^{3}}-4\left( 3a+2b \right){{x}^{2}}-8bx+4a{{x}^{3}}+4b{{x}^{2}} \right)=\left( x-1 \right){{e}^{2x}}\to \]\[6ax+2b=x-1\to a=\frac{1}{6},b=-\frac{1}{2}\]per cui l’integrale particolare è \[\bar{y}={{x}^{2}}\left( \frac{1}{6}x-\frac{1}{2} \right){{e}^{2x}}\cdot \]Poiché l’integrale generale dell’omogenea è, in questo caso, \({{y}_{0}}=\left( {{c}_{1}}+{{c}_{2}}x \right){{e}^{2x}}\), possiamo scrivere l’integrale generale nella forma:    \[y\left( x \right)=\left( \frac{1}{6}{{x}^{3}}-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+{{c}_{2}}x+{{c}_{1}} \right){{e}^{2x}},\quad {{c}_{1,}}{{c}_{2}}\in \mathbb{R}\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Giovanni la seguente domanda:

Gentile professor Bergamini,

come posso risolvere il seguente integrale indefinito?

                                                      \[\int{{{x}^{2}}\cos \left( 3x \right)}dx\quad .\]

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Giovanni,

operiamo con l’integrazione per parti, assegnando al fattore goniometrico il ruolo di fattore integrale:

\[\int{{{x}^{2}}\cos \left( 3x \right)}dx=\frac{{{x}^{2}}}{3}\sin \left( 3x \right)-\frac{2}{3}\int{x\sin \left( 3x \right)}dx=\]\[=\frac{{{x}^{2}}}{3}\sin \left( 3x \right)-\frac{2}{3}\left[ -\frac{1}{3}x\cos 3x+\frac{1}{3}\int{\cos \left( 3x \right)}dx \right]=\]\[=\frac{{{x}^{2}}}{3}\sin \left( 3x \right)+\frac{2}{9}x\cos 3x-\frac{2}{27}\sin \left( 3x \right)+c\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Jessica la seguente domanda:

Gentilissimo professore,

mi aiuta per favore a risolvere il seguente esercizio (n.351, pag.2061, Manuale.blu 2.0)?

Considera la parabola \(\gamma\) di equazione \(y=-x^2+4x\) e la retta \(r\) di equazione \(y=3\). Trova il volume del solido ottenuto dalla rotazione completa intorno a \(r\) della parte di piano delimitata da \(\gamma\) e da \(r\).

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Jessica,

può essere più agevole immaginare di operare una traslazione che porti la retta \(y=3\) a coincidere con l’asse \(x\), cioè una traslazione di vettore \(\vec{v}\left( 0,-3 \right)\), in seguito alla quale la parabola \(\gamma\) diventa la parabola isometrica \(\gamma^\prime\) di equazione \(y=-x^2+4x-3\) che interseca l’asse \(x\) nei punti di ascissa \(x=1\) e \(x=3\),  ottenendo un problema equivalente in cui il volume del solido equivale al seguente integrale definito:

\[V=\pi \int\limits_{1}^{3}{{{\left( -{{x}^{2}}+4x-3 \right)}^{2}}dx}=\]\[\pi \int\limits_{1}^{3}{{{\left( {{x}^{4}}-8{{x}^{3}}+22{{x}^{2}}-24x+9 \right)}^{2}}dx}=\]\[=\pi \left[ \frac{1}{5}{{x}^{5}}-2{{x}^{4}}+\frac{22}{3}{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+9x \right]_{1}^{3}=\frac{16}{15}\pi \quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Paola la seguente domanda:

Gentilissimo Professore,

mi aiuta per favore a risolvere il seguente esercizio (n.15, pag.62\(\sigma\), Manuale.blu 2.0)?

Al servizio di guardia medica festivo in 24 ore arrivano in media 84 richieste. Calcola la probabilità che in un’ora:

a) vi siano 5 chiamate;

b) il numero delle chiamate sia al massimo 3;

c) il numero delle chiamate sia compreso tra 2 e 6;

d) sapendo che le chiamate sono state effettuate per il 40% da donne che per l’80% hanno richiesto l’intervento a domicilio, mentre questa percentuale per gli uomini è stata del 70%, determina la probabilità che un intervento a domicilio sia stato effettuato in seguito alla richiesta di un uomo.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Paola,

il problema può essere affrontato utilizzando una distribuzione di probabilità di Poisson, in cui la probabilità che si verifichi un numero \(x\) di volte in una dato periodo di tempo un evento che si verifica in media \(\lambda\) volte in quel periodo di tempo è data da:\[p\left( x \right)=\frac{{{\lambda }^{x}}}{x!}{{e}^{-\lambda }}\quad .\]

Quindi, poiché in un’ora si hanno mediamente \(\lambda =\frac{84}{24}=3,5\) richieste di intervento, si ha:

a) \(p\left( x=5 \right)=\frac{{{3,5}^{5}}}{5!}{{e}^{-3,5}}\approx 0,1322\);

b) \(p\left( x\le 3 \right)= p\left( x=0 \right)+ p\left( x=1\right)+ p\left( x=2 \right)+ p\left( x=3 \right)=\)

\(={{e}^{-3,5}}\left( 1+3,5+\frac{{{3,5}^{2}}}{2}+\frac{{{3,5}^{3}}}{6} \right)\approx 0,5366\);

c) \(p\left( 2\le x\le 6 \right)=p\left( x=2 \right)+p\left( x=3 \right)+p\left( x=4 \right)+p\left( x=5 \right)+p\left( x=6 \right)=\)

\({{e}^{-3,5}}\left( \frac{{{3,5}^{2}}}{2}+\frac{{{3,5}^{3}}}{6}+\frac{{{3,5}^{4}}}{4!}+\frac{{{3,5}^{5}}}{5!} +\frac{{{3,5}^{6}}}{6!} \right)\approx 0,7988\);

d) Posto \(C\)=”è stato richiesto un intervento a domicilio”, e \(D\)=”la chiamata è stata effettuata da una donna”, \(U\)=”la chiamata è stata effettuata da un uomo”, possiamo dire che:

\[p\left( C \right)=p\left( D\cap C \right)+p\left( U\cap C \right)=\frac{2}{5}\cdot \frac{4}{5}+\frac{3}{5}\cdot \frac{7}{10}=\frac{37}{50}\]per cui la probabilità condizionata in questione (“la chiamata sia stata effettuata da un uomo sapendo che è stato richiesto un intervento a domicilio”) può essere ricavata nel modo seguente:

\[p\left( U|C \right)=\frac{p\left( U\cap C \right)}{p\left( C \right)}=\frac{21}{50}\cdot \frac{50}{37}=\frac{21}{37}\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Giancarlo la seguente domanda:

Salve professore,

mi può risolvere questo problema?

Una conica passa per i punti \(A(3;3)\), \(B(9/7;3)\), \(C(3;9/7)\) e ha come direttrice la bisettrice del secondo e quarto quadrante. Determina le coordinate del fuoco associate a tale direttrice e scrivi l’equazione della conica.

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Giancarlo,

poiché il fuoco appartiene necessariamente ad una retta perpendicolare alla direttrice rispetto alla quale la conica risulta simmetrica, e tale retta non può che essere \(y=x\), essendo \(B\) e \(C\) simmetrici rispetto ad essa, il fuoco deve essere un punto del tipo \(F(a,a)\). Per definizione, il rapporto \(PF/PH\), dove \(PH\) indica la distanza di \(P\) dalla direttice, deve essere lo stesso per ogni \(P\) appartenente alla conica, per cui, considerati i punti \(A\) e \(C\), si deve avere:            \[\frac{AF}{AH}=\frac{CF}{CH}\to \frac{\left| 3-a \right|}{3}=\frac{7\sqrt{2}\sqrt{{{\left( 3-a \right)}^{2}}+{{\left( 9/7-a \right)}^{2}}}}{30}\to \]\[\to 100{{\left( 3-a \right)}^{2}}=98{{\left( 3-a \right)}^{2}}+2{{\left( 9-7a \right)}^{2}}\to \left| 3-a \right|=\left| 9-7a \right|\to \]\[\to a=1\ \vee \ a=\frac{3}{2}\to {{F}_{1}}\left( 1,1 \right)\ \vee \ {{F}_{2}}\left( \frac{3}{2},\frac{3}{2} \right)\quad .\] Ne consegue che \(\frac{AF}{AH}=\frac{2}{3} \vee \frac{AF}{AH}=\frac{1}{2}\), da cui si evince che le due coniche sono ellissi (l’eccentricità è minore di \(1\)), di equazioni:     \[\frac{2\left( {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}} \right)}{{{\left( x+y \right)}^{2}}}=\frac{4}{9}\to 7{{x}^{2}}-4xy+7{{y}^{2}}-18x-18y+18=0\]\[\frac{2\left( {{\left( x-2/3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2/3 \right)}^{2}} \right)}{{{\left( x+y \right)}^{2}}}=\frac{1}{4}\to 7{{x}^{2}}-2xy+7{{y}^{2}}-24x-24y+36=0\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Professore,

Le allego un esercizio che non ho saputo fare:

Considera le parabole \(x=2y^2\) e \(x=4-y^2\). Trova l’area della regione finita di piano delimitata dalle due parabole. Nella stessa regione inscrivi un rettangolo con i lati paralleli agli assi cartesiani in modo che il cilindro da esso generato in una rotazione completa attorno all asse \(x\) abbia volume massimo.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

le due parabole, come da figura, si intersecano nei punti \(A(8/3,2\sqrt{3}/3)\), \(B(8/3,-2\sqrt{3}/3)\), e quindi delimitano una regione di piano formata da due segmenti parabolici aventi in comune la corda \(AB\), inscritti complessivamente in un rettangolo di dimensioni \(ON=4\) e \(AB=4\sqrt{3}/3\): per il teorema di Archimede, l’area della regione è quindi pari ai \(2/3\) dell’area del rettangolo in cui è inscritta, cioè ha misura \(32\sqrt{3}/9\). Lo stesso risultato si sarebbe potuto ottenere integrando rispetto a \(y\) la differenza \(4-3y^2\) nell’intervallo \(\left[ -2\frac{\sqrt{3}}{3},2\frac{\sqrt{3}}{3} \right]\).

Riguardo al rettangolo inscritto nella regione, possiamo considerare sul segmento \(OH\) dell’asse \(x\) il punto \(P\), con ascissa \(x\) tale che \(0\le x\le \frac{8}{3}\), e le sue proiezioni \(C(x,\sqrt{\frac{x}{2}})\) e \(D(4-\frac{x}{2},\sqrt{\frac{x}{2}})\) sugli archi di parabola: ne consegue che il cilindro ottenuto dalla rotazione del rettangolo ha volume \(V(x)\) dato da:            \[V\left( x \right)=\pi \frac{x}{2}\left( 4-\frac{3}{2}x \right)=2\pi x-\frac{3}{4}\pi {{x}^{2}}\]la cui derivata, \(V’\left( x \right)=2\pi -\frac{3}{2}\pi x\), si annulla per \(x=\frac{4}{3}\), valore corrispondente al massimo relativo cercato.

Massimo Bergamini

Ricevo da Francesca la seguente domanda:

Buongiorno,

Le chiedo gentilmente aiuto per il seguente esercizio (n.350, pag.2061, Matematica.blu 2.0):

Data la parabola di equazione \(y=-4x^2+8x\), traccia le tangenti \(t_1\) e \(t_2\) nei suoi punti \(O\) e \(A\) di ascissa \(0\) e \(3/2\). Detto \(B\) il punto di intersezione delle due rette, determina il volume del solido generato in una rotazione completa attorno all’asse \(x\) del triangolo mistilineo \(OBA\).

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Francesca,

posto che le tangenti in questione sono le rette \({{t}_{1}}:y=8x\) e \({{t}_{2}}:y=-4x+9\), e che queste si incontrano nel punto \(B(3/4,6)\), possiamo ricavare il volume \(V\) del solido in questione nel modo seguente:          \[V=\pi \int\limits_{0}^{3/4}{64{{x}^{2}}dx}+\pi \int\limits_{3/4}^{3/2}{{{\left( -4x+9 \right)}^{2}}dx}-\pi \int\limits_{0}^{3/2}{{{\left( -4{{x}^{2}}+8x \right)}^{2}}dx}=\]\[=\pi \left[ \frac{64}{3}{{x}^{3}} \right]_{0}^{3/4}+\pi \left[ \frac{16}{3}{{x}^{3}}-36{{x}^{2}}+81x \right]_{3/4}^{3/2}-\pi \left[ \frac{16}{5}{{x}^{5}}+\frac{64}{3}{{x}^{3}}-16{{x}^{4}} \right]_{0}^{3/2}=\]\[\frac{189}{20}\pi \quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Professore,

come si risolvono queste equazioni differenziali?

                                       \[y''-7y'+12y={{e}^{3x}}\quad \quad y''+5y'+6y={{e}^{-3x}}\quad .\]

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

la prima equazione ha equazione caratteristica con radici reali \(3\) e \(4\), per cui l’integrale generale dell’omogenea associata è \({{y}_{0}}={{c}_{1}}{{e}^{3x}}+{{c}_{2}}{{e}^{4x}}\). Per quanto riguarda un integrale particolare \(\bar{y}\), consideriamo una funzione della forma \(\bar{y}=Ax{{e}^{3x}}\), per cui: \[\bar{y}'=A{{e}^{3x}}\left( 1+3x \right)\quad \quad y''=3A{{e}^{3x}}\left( 2+3x \right)\to \]\[\to A{{e}^{3x}}\left( 6+9x-7-21x+12x \right)={{e}^{3x}}\to -A=1\to \bar{y}=-x{{e}^{3x}}\] Quindi, l’integrale generale è \[y\left( x \right)={{c}_{1}}{{e}^{3x}}+{{c}_{2}}{{e}^{4x}}-x{{e}^{3x}}\quad .\]

Analogamente, la seconda equazione ha equazione caratteristica con radici reali \(-2\) e \(-3\), per cui l’integrale generale dell’omogenea associata è \({{y}_{0}}={{c}_{1}}{{e}^{-2x}}+{{c}_{2}}{{e}^{-3x}}\). Per quanto riguarda un integrale particolare \(\bar{y}\), consideriamo una funzione della forma \(\bar{y}=Ax{{e}^{-3x}}\), per cui: \[\bar{y}'=A{{e}^{3x}}\left( 1-3x \right)\quad \quad y''=3A{{e}^{3x}}\left( -2+3x \right)\to \]\[\to A{{e}^{-3x}}\left( -6+9x+5-15x+6x \right)={{e}^{-3x}}\to -A=1\to \bar{y}=-x{{e}^{-3x}}\] Quindi, l’integrale generale è \[y\left( x \right)={{c}_{1}}{{e}^{-2x}}+{{c}_{2}}{{e}^{-3x}}-x{{e}^{-3x}}\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Professore,

un vostro quesito (n.474, pag.2070, Matematica.blu 2.0):

Un carrello inizia a muoversi su un binario rettilineo con accelerazione che varia nel tempo secondo la legge \(a(t)=(2-t)e^t\). In quale istante è massima la velocità? Che spazio ha percorso fino a quel momento?

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

posto che si abbia la condizione \(v(0)=0\), cioè che il carrello parte da fermo, possiamo ricavare \(v(t)\) come integrale dell’accelerazione \(a(t)\) rispetto al tempo:\[v\left( t \right)=\int{\left( 2-t \right){{e}^{t}}dt=}\left( 2-t \right){{e}^{t}}+\int{{{e}^{t}}dt}={{e}^{t}}\left( 3-t \right)+c\to \]\[\to v\left( 0 \right)=3+c\to v\left( 0 \right)=0\leftrightarrow c=-3\to v\left( t \right)={{e}^{t}}\left( 3-t \right)-3\quad .\]

La velocità massima si raggiunge in corrispondenza al valore di annullamento della derivata temporale di \(v(t)\), cioè per \(a(t)=0\), quindi per \(t=2\), e tale valore massimo è \(v(2)=e^2-3\). Lo spazio percorso tra \(0\) e \(2\) secondi è dato da:\[\Delta s=\int\limits_{0}^{2}{v\left( t \right)}dt=\int\limits_{0}^{2}{\left( \left( 3-t \right){{e}^{t}}-3 \right)dt}=\left[ \left( 4-t \right){{e}^{t}}-3t \right]_{0}^{2}=2{{e}^{2}}-10\ .\]

Massimo Bergamini