Ricevo da Samuele la seguente domanda:

Caro professore,

le scrivo perché non riesco ad impostare correttamente il seguente problema:

Sia dato un cono di volume \(9\;dm^3\). Determina le dimensioni della piramide quadrangolare regolare inscritta nel cono che ha superficie laterale minima.

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Samuele,

detto \(r\) il raggio della circonferenza di base del cono, e quindi anche della circonferenza circoscritta alla base quadrata della piramide regolare inscitta in esso, e detta \(h\) l’altezza comune ai due solidi, si ha innanzitutto \[9=\frac{\pi }{3}h{{r}^{2}}\to h=\frac{27}{\pi {{r}^{2}}}\quad .\]Poiché il lato \(AB\) del quadrato di base della piramide ha misura \(\sqrt{2}r\), l’apotema \(VF\) della piramide stessa ha misura \(\sqrt{{{h}^{2}}+\frac{{{r}^{2}}}{2}}=\frac{\sqrt{{{\pi }^{2}}{{r}^{6}}+2\cdot {{3}^{6}}}}{\sqrt{2}\pi {{r}^{2}}}\), quindi la superficie laterale della piramide (= semiperimetro di base \(\times \) apotema) risulta:\[{{S}_{L}}=2\sqrt{2}r\frac{\sqrt{{{\pi }^{2}}{{r}^{6}}+2\cdot {{3}^{6}}}}{\sqrt{2}\pi {{r}^{2}}}=\frac{2\sqrt{{{\pi }^{2}}{{r}^{6}}+2\cdot {{3}^{6}}}}{\pi r}\] e pertando, derivando rispetto ad \(r\) e analizzando zeri e segno della derivata, si ha: \[{{S}_{L}}'=\frac{4\left( {{\pi }^{2}}{{r}^{6}}-{{3}^{6}} \right)}{\pi {{r}^{2}}\sqrt{{{\pi }^{2}}{{r}^{6}}+2\cdot {{3}^{6}}}}\to {{S}_{L}}'=0\leftrightarrow r=\frac{3}{\sqrt[3]{\pi }}\] con \({{S}_{L}}’<0\) per \(r<\frac{3}{\sqrt[3]{\pi }}\), \({{S}_{L}}’>0\) per \(r>\frac{3}{\sqrt[3]{\pi }}\), per cui \[r=\frac{3}{\sqrt[3]{\pi }}\;dm\]corrisponde al minimo cercato: l’altezza relativa è \[h=\frac{27}{\pi {{r}^{2}}}=\frac{3}{\sqrt[3]{\pi }}\] cioè la piramide cercata è quella inscritta nel cono equilatero.

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Caro professore,

le sottopongo questi due problemi:

1) Una piramide ha base quadrata \(ABCD\) di lato \(a\), vertice \(V\) e altezza condotta dal punto medio \(H\) del lato \(AB\) in modo che sia \(VH=2a\). Condotto per un punto \(K\) di \(VH\) un piano \(\alpha\) parallelo al piano di base, indica con \(A’B’C’D’\) il poligono staccato da \(\alpha\) sulla piramide \(VABCD\).

a) Calcola tutti gli spigoli della piramide assegnata e l’angolo che ciascuno forma con il piano di base.

b) Nel caso in cui \(K\) sia il punto medio di \(VH\), calcola il rapporto tra i volumi delle piramidi \(VABCD\) e \(VA’B’C’D’\).

c) Determina per quale posizione di \(K\) il prisma che ha per basi \(A’B’C’D’\) e la sua proiezione sulla base della piramide è un cubo.

2) È assegnato un cubo i cui spigoli hanno misura \(2a\). Sulla retta passante per i centri delle facce opposte \(ABCD\) e \(A’B’C’D’\) prendere, esternamente al cubo, un punto \(V\) a distanza \(a\) dalla faccia \(A’B’C’D’\). Tracciare le semirette di origine \(V\) passanti per i punti \(A’\), \(B’\), \(C’\), \(D’\) e indicare con \(A’’\), \(B’’\), \(C’’\), \(D’’\) le loro intersezioni con il piano della faccia \(ABCD\).

a) Il quadrilatero \(A’’B’’C’’D’’\) è un quadrato? Perché?

b) Calcolare il rapporto tra il volume della piramide di vertice \(V\) e base \(A’’C’’B’’D’’\) e il volume del cubo. Grazie.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

in entrambi i casi, il punto \(V\) è il centro di una omotetia, attraverso la quale i vertici di una figura di un dato piano vengono proiettati nei corrispondenti vertici di una figura simile appartenente ad un piano parallelo al primo: in tale trasformazione, detto \(k\) il fattore di similitudine, cioè il rapporto tra gli elementi lineari corrispondenti delle figure, le aree delle figure corrispondenti hanno rapporto \(k^2\), mentre i volumi hanno rapporto \(k^3\).

Nel primo caso, considerando i traingoli rettangoli \(VAH\) , \(DAH\) e \(VDH\), e osservando che gli angoli \(\alpha =V\hat{A}H\cong V\hat{B}H\) e \(\beta =V\hat{D}H \cong V\hat{C}H\) sono gli angoli che gli spigoli della piramide \(VABCD\) formano con il piano di base, si ha:     \[VA\cong VB=\frac{\sqrt{17}}{2}a\quad VD\cong VC=\frac{\sqrt{21}}{2}a\] \[\alpha =\arctan 4\approx 75,96{}^\circ \quad \beta =\arctan \frac{4\sqrt{5}}{5}\approx 60,79{}^\circ \quad .\]

Per quanto detto riguardo alle omotetie in generale, è chiaro che, nel caso in cui sia \(k=VH/VK=2\), si ha che il rapporto tra i volumi delle piramidi \(VABCD\) e \(VA’B’C’D’\) è \({{k}^{3}}=8\).

Infine, posto \(x=VK\), poiché \[\frac{VK}{A'K}=\frac{VH}{AH}=4\to A'K=\frac{x}{4}\] si ha che il prisma in questione è un cubo se e solo se \(2A’K=VH-VK\), cioè se e sole se  \[\frac{x}{2}=2a-x\to VK=x=\frac{4}{3}a\quad .\]

Nel secondo problema, è chiaro da quanto detto sulle omotetie che il quadrilatero \(A’’B’’C’’D’’\) è un quadrato in quanto corrispondente del quadrato \(A’B’C’D’\) nell’omotetia di centro \(V\) e rapporto \(k=VO/VO’=3\), e anche che, essendo il volume della piramide \(VA’B’C’D’\) pari a \(\frac{4}{3}{{a}^{3}}\), il volume della piramide \(VA’’C’’B’’D’’\) è \(27\) volte maggiore, cioè è pari a \(36{{a}^{3}}\): poiché il cubo ha un volume di \(8{{a}^{3}}\), il rapporto richiesto è \(\frac{9}{2}\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Leonardo la seguente domanda:

Gentilissimo professore,

ho delle difficoltà nel trovare la soluzione in questi tre poblemi di geometria euclidea:

1) Considerate due corde congruenti \(PQ\) ed \(RS\) di una circonferenza che non si intersecano (i punti \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\) si susseguono nell’ordine), indica con \(T\) e \(V\) i punti di intersezione fra la circonferenza e la retta che unisce i punti medi \(M\) e \(N\) delle due corde. Dimostra la congruenza dei segmenti \(PT\), \(VS\) e \(TQ\), \(VR\). (Suggerimento: puoi dimostrarlo sia utilizzando i criteri di congruenza dei triangoli, sia considerando la simmetria rispetto all’asse della corda \(QR\) o \(PS\)).

2) In una circonferenza di centro \(O\) è data una corda \(AB\); prolunga tale corda dalla parte di \(B\) di un segmento \(BC\) congruente al raggio e traccia la semiretta \(CO\) che incontra la circonferenza oltre \(O\) nel punto \(D\). Dimostra che l’angolo \(A\hat{O}D\) è triplo dell’angolo \(A\hat{C}O\).

3) Su una circonferenza di diametro \(AB\) considera un punto \(C\) in modo che l’angolo \(C\hat{A}B\) sia doppio dell’angolo \(C\hat{B}A\). Dimostra che la corda \(AC\) è congruente al raggio della circonferenza.

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Leonardo,

nel primo caso, in generale si osserva che congiungendo gli estremi \(Q\), \(R\) e \(P\), \(S\) di due corde congruenti si viene a formare un trapezio isoscele, essendo  \(Q\hat{R}P\cong R\hat{P}S\cong R\hat{Q}S\cong Q\hat{S}P\), in quanto tutti questi angoli alla circonferenza insistono su corde congruenti; ne consegue che nella simmetria avente per asse l’asse di simmetria del trapezio si corrispondono anche i punti medi \(M\) ed \(N\) dei lati corrispondenti \(PQ\) e \(RS\), nonché i punti \(T\) e \(V\), in quanto intersezioni di una retta perpendicolare all’asse con gli archi simmetrici \(PQ\) e \(RS\), per cui \(PT\cong VS\) e \(TQ\cong VR\) in quanto segmenti che congiungono punti che si corrispondono nella suddetta simmetria assiale.

Nel secondo caso, posto  \(\alpha=A\hat{C}O\), si osserva che \(O\hat{B}A\cong O\hat{A}B=2\alpha \), in quanto \(O\hat{B}A\) è angolo esterno del triangolo isoscele \(OBC\), pertanto, essendo \(A\hat{O}D\) angolo esterno del triangolo \(AOC\), si ha \(A\hat{O}D= A\hat{C}O+O\hat{A}B=3\alpha\).

Infine, nel terzo caso, basta tracciare il raggio \(CO\) e osservare che l’angolo \(A\hat{O}C\) è anch’esso pari al doppio dell’angolo \(C\hat{B}A\), in quanto angolo esterno del triangolo isoscele \(COB\), per cui il triangolo isoscele \(CAO\) è equilatero, cioè in particolare \(AC\cong AO\), che è la tesi.

Massimo Bergamini

icevo da Jessica la seguente domanda:

Gentilissimo professor Bergamini,

per favore mi aiuta a risolvere questo esercizio (n.279 pag.1908 Manuale blu 2.0)?

Dato il grafico della funzione \(y=f’\left( x \right)\), traccia un possibile andamento della funzione \(y=f\left( x \right)\) nei seguenti casi.

 Grazie.

Le rispondo così:

Cara Jessica,

ti riporto tre grafici, tracciati a mano, che riproducono possibili andamenti delle tre funzioni in questione, in cui sono messi in evidenza asintoti e rette tangenti nei punti estremanti e di flesso:

Massimo Bergamini

Ricevo da Giuliano la seguente domanda:

Buongiorno Professore,

non riesco proprio a risolvere questo problema (n.365 pag.899 Manuale blu di matematica):

Data la semicirconferenza di diametro \(AB=2r\), considera il punto \(P\) appartenente ad essa e tale che \(P\hat{B}A=x\); traccia la tangente in \(P\) e sia \(H\) la proiezione del punto \(B\) sulla tangente.

a) Determina la funzione \(f(x)=PH+HB\), traccia il suo grafico ed evidenzia la parte relativa al problema.

b) Discuti nei limiti del problema il numero delle intersezioni dei grafici di \(f(x)\) e di \(y=kr\), con \(k\in \mathbb{R}\).

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Giuliano,

posto che \(0\le x\le \frac{\pi }{2}\), considerando i triangoli rettangoli \(ABP\) e \(PBH\), e il triangolo isoscele \(OPB\), osserviamo che \(P\hat{B}H=O\hat{P}B=x\) in quanto alterni interni tra rette parallele, per cui:\[PB=2r\cos x\quad HB=PB\cos x=2r{{\cos }^{2}}x\] \[PH=PB\sin x=2r\sin x\cos x\] e quindi, utilizzando le identità \(2{{\cos }^{2}}x=\cos 2x+1\), \(2\sin x\cos x=\sin 2x\), \(\cos 2x+\sin 2x=\sqrt{2}\sin \left( 2x+\frac{\pi }{4} \right)\), si ha:     \[f\left( x \right)=r\left( \sqrt{2}\sin \left( 2x+\frac{\pi }{4} \right)+1 \right)\quad \quad 0\le x\le \frac{\pi }{2}\quad .\]

Posto \(r=1\), si ha il seguente grafico per \(f(x)\), da cui si deduce che le intersezioni col fascio di rette parallele all’asse \(x\) di equazione \(y=kr\) sono \(2\) se \(2\le k\le 1+\sqrt{2}\) (per \(k=1+\sqrt{2}\) sono coincidenti), è una sola per \(0\le k <2\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Emanuela la seguente domanda:

Salve,

mi trovo in difficoltà con questo problema di massimo e minimo:

Data una semicirconferenza di diametro \(AB=2r\), traccia la tangente \(t\) in \(A\) e, preso sulla semicirconferenza un punto \(P\), indica con \(C\) la sua proiezione su \(t\). Trova \(P\) in modo che la somma di \(PB+PC\) sia massima.

Le rispondo così:

Cara Emanuela,

posto \(x=A\hat{B}P\), con \(0\le x\le \frac{\pi }{2}\), e detta \(H\) la proiezione di \(P\) su \(AB\), si ha:\[PB=AB\cos x=2r\cos x\quad PC=AH=AB-PB\cos x=2r\left( 1-{{\cos }^{2}}x \right)=2r{{\sin }^{2}}x\]pertanto, la funzione di cui cercare il massimo è \[f\left( x \right)=2r\left( \cos x+{{\sin }^{2}}x \right)\]la cui derivata \[f'\left( x \right)=2r\left( -\sin x+2\sin x\cos x \right)=2r\sin x\left( 2\cos x-1 \right)\]si annulla, nell’intervallo di interesse, o per \(x=0\) o per  \(x=\frac{\pi }{3}\), e poiché in tale intervallo \(\sin x\ge 0\) e \(2\cos x-1>0\) per \(0\le x<\pi /3\), si conclude che in \(x=\frac{\pi }{3}\) si verifica il massimo cercato, corrispondente a \(PB+PC=\frac{5}{2}r\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Giovanni la seguente domanda:

Gentile professor Bergamini,

le propongo il seguente problema:

è data la semicirconferenza di diametro \(AB=2r\); determina su di essa un punto \(C\) tale che, condotta la perpendicolare \(CD\) ad \(AB\), risulti massima la somma \(CD+DB\).

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Giovanni,

posto \(x=A\hat{B}C\), con \(0\le x\le \frac{\pi }{2}\), si ha:\[CB=AB\cos x=2r\cos x\quad CD=CB\sin x=2r\sin x\cos x \quad DB=CB\cos x=2r\cos^{2}x\]  pertanto, la funzione di cui cercare il massimo è    \[f\left( x \right)=2r\cos x\sin x+2r{{\cos }^{2}}x=r\sin 2x+r+r\cos 2x=\]\[=r\left( \sqrt{2}\sin \left( 2x+\frac{\pi }{4} \right)+1 \right)\]la cui derivata \[f'\left( x \right)=2\sqrt{2}r\cos \left( 2x+\frac{\pi }{4} \right)\]si annulla, nell’intervallo di interesse, per  \(x=\frac{\pi }{8}\), e poiché in tale intervallo la derivata è dapprima positiva poi negativa in un intorno di tale valore, si conclude che in \(x=\frac{\pi }{8}\) si verifica il massimo cercato, corrispondente a \(CD+DB=(\sqrt{2}+1)r\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Annalisa la seguente domanda:

Gentile professore,

ho difficoltà a risolvere questo esercizio:

Una porta rettangolare è sormontata da una finestra a semicerchio; l’interno della porta è di vetro trasparente, la finestra è di vetro semitrasparente il quale trasmette, per unità di superficie, solo la metà della luce trasmessa dalla porta. Se il perimetro complessivo del contorno è costante, dimostra che la massima quantità di luce passa se il rapporto tra altezza e larghezza della porta è \(\frac{\pi }{8}+\frac{1}{2}\).

Le rispondo così:

Cara Annalisa,

detta \(x\) la larghezza e \(y\) l’altezza della porta, e detto \(2p\) il perimetro complessivo della porta-finestra, si ha:\[2p=x+2y+\frac{x}{2}\pi \to y=p-\frac{\pi +2}{4}x\quad .\]Dopo aver osservato che \(0\le x\le \frac{4p}{\pi +2}\), ricaviamo la funzione \(f(x)\) da massimizzare, cioè la quantità di luce trasmessa dalla porta-finestra: supponendo unitaria la quantità di luce per unità di superficie che attraversa la finestra, possiamo dire che \(f(x)=S_f+2\cdot S_p\), cioè:\[f\left( x \right)=\frac{\pi }{8}{{x}^{2}}+2x\left( p-\frac{\pi +2}{4}x \right)=-\frac{3\pi +8}{8}{{x}^{2}}+2px\]per cui, derivando e uguagliando a \(0\) (anche se, trattandosi di una parabola con concavità verso il basso, è chiaro che il massimo cade nel vertice):\[f'\left( x \right)=-\frac{3\pi +8}{4}x+2p\to f'\left( x \right)=0\leftrightarrow x=\frac{8p}{3\pi +8}\]valore che corrisponde al massimo cercato, come si può dedurre dall’andamento del segno della derivata stessa. Poiché il corrispondente valore per l’altezza della porta è \(y=\frac{p\left( \pi +4 \right)}{3\pi +8}\) si ha:\[\frac{y}{x}=\frac{p\left( \pi +4 \right)}{3\pi +8}\cdot \frac{3\pi +8}{8p}=\frac{\pi }{8}+\frac{1}{2}\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Nicola la seguente domanda:

Caro professore Bergamini,

le propongo la seguente equazione goniometrica iperbolica:     \[{{\sinh }^{3}}x-t\sinh x=-6\quad .\]

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Nicola,

dopo aver ricordato che \(\sinh x=\frac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}}{2}=\frac{{{e}^{2x}}-1}{2{{e}^{x}}}\), poniamo \(\sinh x=t\) e risolviamo l’equazione di 3° grado \({{t}^{3}}-7t+6=0\) osservando che \(t_1=1\) è una soluzione, e che pertanto si può effettuare la seguente scomposizione:\[{{t}^{3}}-7t+6=\left( t-1 \right)\left( {{t}^{2}}+t-6 \right)=0\]da cui si ricavano le altre due soluzioni dell’equazione, cioè \(t_2=2\) e \(t_3=-3\). Per concludere, si tratta di risolvere le seguenti equazioni esponenziali:            \[\frac{{{e}^{2x}}-1}{2{{e}^{x}}}=1\to {{e}^{2x}}-2{{e}^{x}}-1=0\] \[\frac{{{e}^{2x}}-1}{2{{e}^{x}}}=2\to {{e}^{2x}}-4{{e}^{x}}-1=0\] \[\frac{{{e}^{2x}}-1}{2{{e}^{x}}}=-3\to {{e}^{2x}}+6{{e}^{x}}-1=0\] le cui soluzioni accettabili sono, rispettivamente: \[{{e}^{x}}=\sqrt{2}+1\to x_1=\ln \left( \sqrt{2}+1 \right)\approx 0,8814\] \[{{e}^{x}}=\sqrt{5}+2\to x_2=\ln \left( \sqrt{5}+2 \right)\approx 1,4436\] \[{{e}^{x}}=\sqrt{10}-3\to x_3=\ln \left( \sqrt{10}-3 \right)\approx -1,8184\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Alida la seguente domanda:

Professore,

necessito di un aiuto per il seguente problema (n.203, pag.424, matematica.blu 2.0), grazie!

Sia E un’ellisse nel piano e sia \(A\) un punto fissato all’interno di E. Si supponga che due rette perpendicolari passanti per \(A\) intersechino E rispettivamente nei punti \(P\), \(P’\), \(Q\), \(Q’\). Dimostra che \[\frac{1}{\overline{AP}\cdot \overline{AP'}}+\frac{1}{\overline{AQ}\cdot \overline{AQ'}}\]

è indipendente dalla scelta delle rette.

Le rispondo così:

Cara Alida,

devo riconoscere che ti sei imbattuta in un problema un po’ “fuori misura” come grado di difficoltà… Tralasciando (per ora..) tentativi di soluzioni “eleganti” basati sulla geometria proiettiva e le proprietà affini dell’ellisse, un approccio diretto al problema basato sulla geometria analitica porta al risultato dopo calcoli molto onerosi. In sintesi, detto \(A\left( {{x}_{A}},{{y}_{A}} \right)\) un generico interno alla generica ellisse canonica E di equazione \(\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\), cioè tale che \(-a\le {{x}_{A}}\le a\ \wedge \ -b\le {{y}_{A}}\le b\), e considerate le generiche rette perpendicolari passanti per \(A\), cioè \(r:y=m\left( x-{{x}_{A}} \right)+{{y}_{A}}\) e \(s:y=-\frac{1}{m}\left( x-{{x}_{A}} \right)+{{y}_{A}}\), si procede alla determinazione delle coordinate dei punti \(P\), \(P’\), \(Q\), \(Q’\) risolvendo i sistemi retta-ellisse, e quindi si calcolano le distanze da \(A\), ottenendo le seguenti espressioni:\[\frac{1}{\overline{AP}\cdot \overline{AP'}}=\frac{{{b}^{2}}+{{a}^{2}}{{m}^{2}}}{\left( {{a}^{2}}{{b}^{2}}-{{b}^{2}}x_{A}^{2}-{{a}^{2}}y_{A}^{2} \right)\left( 1+{{m}^{2}} \right)}\]\[\frac{1}{\overline{AQ}\cdot \overline{AQ'}}=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}{{m}^{2}}}{\left( {{a}^{2}}{{b}^{2}}-{{b}^{2}}x_{A}^{2}-{{a}^{2}}y_{A}^{2} \right)\left( 1+{{m}^{2}} \right)}\]Per cui:\[\frac{1}{\overline{AP}\cdot \overline{AP'}}+\frac{1}{\overline{AQ}\cdot \overline{AQ'}}=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{\left( {{a}^{2}}{{b}^{2}}-{{b}^{2}}x_{A}^{2}-{{a}^{2}}y_{A}^{2} \right)}\quad \forall m\ne 0\] e poiché l’espressione a destra dell’uguale non dipende da \(m\), cioè dalla scelta delle rette \(r\) e \(s\), la dimostrazione è conclusa (per la verità bisognerebbe anche verificare la validità della relazione nel caso \(m=0\), cioè nel caso in cui le rette \(r\) e \(s\) siano parallele agli assi coordinati..!).

Massimo Bergamini

Ricevo da Annalisa la seguente domanda:

Gentile professore,

non riesco a risolvere questo integrale:

                                                              \[\int{\sqrt{{{e}^{x}}+1}dx}\quad .\]

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Annalisa,

posto \(t=\sqrt{{{e}^{x}}+1}\) si ha:\[x=\ln \left( {{t}^{2}}-1 \right)\to dx=\frac{2t}{{{t}^{2}}-1}dt\]

per cui: \[\int{\sqrt{{{e}^{x}}+1}dx}=\int{\frac{2{{t}^{2}}}{{{t}^{2}}-1}dt}=2\int{\frac{{{t}^{2}}-1}{{{t}^{2}}-1}dt}+2\int{\frac{1}{{{t}^{2}}-1}dt}=\] \[=2t+\int{\frac{1}{t-1}dt-}\int{\frac{1}{t+1}dt}=2t+\ln \frac{\left| t-1 \right|}{\left| t+1 \right|}+c=\]\[=2\sqrt{{{e}^{x}}+1}+\ln \frac{\sqrt{{{e}^{x}}+1}-1}{\sqrt{{{e}^{x}}+1}+1}+c=2\sqrt{{{e}^{x}}+1}+2\ln \left( \sqrt{{{e}^{x}}+1}-1 \right)-x+c\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Maurizio la seguente domanda:

Buongiorno professore,

il mio quesito è:

Considera la retta \(r\) di equazione \(x+2y-5=0\). Scrivi l’equazione dell’ellisse di centro \(C(2,0)\), i fuochi sull’asse delle \(x\) e tangente alla retta \(r\) nel suo punto \(P(3,1)\).

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Maurizio,

posto che l’equazione dell’ellisse cercata è della forma \(\frac{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\), la condizione di appartenenza del punto \(P(3,1)\) all’ellisse si traduce nella seguente equazione per le incognite \(a^2\) e \(b^2\):\[\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}=1\to {{b}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}-1}\]per cui la condizione di tangenza può essere espressa come richiesta di annullamento del discriminante della seguente equazione (risolvente il sistema retta_ellisse):\[{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( -\frac{1}{2}x+\frac{5}{2} \right)}^{2}}\left( {{a}^{2}}-1 \right)={{a}^{2}}\to\] \[\left( 3+{{a}^{2}} \right){{x}^{2}}-2\left( 3+5{{a}^{2}} \right)x+21{{a}^{2}}-9=0\]cioè:\[{{\left( 3+5{{a}^{2}} \right)}^{2}}-\left( 3+{{a}^{2}} \right)\left( 21{{a}^{2}}-9 \right)=0\to\] \[{{a}^{4}}-6{{a}^{2}}+9=0\to {{a}^{2}}=3\]e in definitiva:       \[\frac{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}{3}+\frac{2{{y}^{2}}}{3}=1\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Ettore la seguente domanda:

Caro professore,

ho qualche difficoltà nel fare il disegno relativo al seguente problema (n.118, p.1059, Matematica.blu 2.0):

Un prisma triangolare regolare \(ABCA’B'C’\) ha lo spigolo \(AB\) della base di \(36\;cm\). Siano \(AD\) e \(BE\) le altezze del triangolo \(ABC\) relative ai lati \(BC\) e \(CA\). Calcola il rapporto tra i volumi dei solidi in cui resta diviso il prisma mandando per i punti \(D\) e \(E\) un piano perpendicolare al piano di base.

Gli rispondo così:

Caro Ettore,

considerato il fatto che le altezze di un triangolo equilatero sono anche mediane, risulta evidente che il triangolo \(CED\) è a sua volta equilatero con lati pari alla metà dei lati del triangolo \(ABC\), e quindi con area pari a \(1/4\) di quella di \(ABC\): concludiamo quindi che il volume del prisma regolare \(EDCE’D’C’\) è pari a \(1/4\) del volume dell’intero prisma \(ABCA’B'C’\), che il volume del prisma \(ABDEA’B’D’E’\) è pari a \(3/4\) del volume dell’intero prisma, e che quindi il rapporto tra i volumi di questi due solidi è pari a \(1/3\). Nota come che per rispondere alla richiesta del problema il dato relativo alla lunghezza dello spigolo \(AB\) risulti superfluo.

Massimo Bergamini

Ricevo da Antonio la seguente domanda:

Salve professore,

vorrei chiederle un aiuto circa il seguente problema:

dimostra che l’equazione \(x^5+x^3+1=0\) ammette un’unica radice reale.

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Antonio,

innanzitutto l’equazione ammette sicuramente almeno una radice reale, come avviene per ogni equazione polinomiale \({{P}_{n}}\left( x \right)=0\) in campo reale di grado \(n\) dispari, e questo può essere motivato in almeno due modi distinti: 1) in base al teorema di permanenza del segno, poiché o \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{P}_{n}}\left( x \right)=+\infty\) e \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{P}_{n}}\left( x \right)=-\infty\) o viceversa, esistono sicuramente un \(a\) e un \(b\) tali che o \({{P}_{n}}\left( a \right)>0\) e \({{P}_{n}}\left( b \right)<0\) o viceversa, cioè comunque nell’intervallo chiuso e limitato \(\left[ a,b \right]\) la funzione \({{P}_{n}}\left( x \right)\) è continua ed assume valori opposti negli estremi, da cui, in base al teorema di esistenza degli zeri, si ricava che esiste almeno un \({{x}_{0}}\in\left]   a,b \right[\) tale che \({{P}_{n}}\left( {{x}_{0}} \right)=0\); 2) in base al teorema algebrico che assicura, per un’equazione polinomiale di grado \(n\) a coefficienti reali, l’esistenza di soluzioni complesse a coppie di coniugati, per cui se \(n\) è dispari si deve avere almeno una soluzione che sia coniugata di se stessa, cioè reale. Riguardo all’unicità, questa si deduce dal fatto che la funzione è monotona strettamente crescente, essendo la sua derivata, cioè il polinomio \(5x^4+3x^2\), strettamente positiva in tutto \(\mathbb{R}\), con l’eccezione di un insieme finito di punti (uno, \(x=0\)) in cui è nulla (in generale la monotonia si avrebbe anche con derivata ovunque positiva nel dominio con l’eccezione persino di una infinità numerabile di punti di annullamento…).

Massimo Bergamini

Ricevo da Antonio la seguente domanda:

Gentile professor Bergamini,

chiedo il suo aiuto per lo svolgimento del seguente limite:\[\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{\frac{1}{2-x}}}}{\ln \left( 2-x \right)}\quad .\]

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Giovanni,

appurato che le funzioni coinvolte sono derivabili in un intorno sinistro di \(2\) e che \[\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,{{e}^{\frac{1}{2-x}}}={{e}^{\frac{1}{{{0}^{+}}}}}={{e}^{+\infty }}=+\infty \quad \quad \underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\ln \left( 2-x \right)=\ln \left( {{0}^{+}} \right)=-\infty \] trattandosi di una forma \(\frac{\infty }{\infty }\), possiamo applicare la regola di de l’Hopital:\[\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{\frac{1}{2-x}}}}{\ln \left( 2-x \right)}=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{{{e}^{\frac{1}{2-x}}}}{{{\left( 2-x \right)}^{2}}}}{-\frac{1}{2-x}}=-\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{\frac{1}{2-x}}}}{2-x}=-\frac{+\infty }{{{0}^{+}}}=-\infty \quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo la seguente domanda:

Caro professore,

le scrivo perché non ho alcuna idea su come impostare il seguente problema:

La numerosità di una popolazione di insetti è ben modellizzata dalla funzione: \[P\left( t \right)=\frac{8000}{1+40{{e}^{-0,2t}}}\]dove \(P(t)\) rappresenta il numero di insetti della popolazione e \(t\) è il tempo, misurato in mesi. Stabilisci dopo quanto tempo dall’inizio dell’osservazione (\(t=0\)) la velocità di crescita della popolazione inizia a diminuire. Esprimi il risultato in mesi e giorni, arrotondato ai giorni (assumi che un mese abbia 30 giorni).

Grazie.

Rispondo così:

Caro(a) anonimo(a),

la funzione \(P(t)\) è un esempio classico di quello che viene detto modello logistico di crescita di una popolazione: la funzione è sempre crescente ma la velocità di crescita, dapprima anch’essa crescente, ad un certo momento \(\bar{t}\), raggiunto un massimo, comincia a decrescere, portandosi asintoticamente verso zero, con conseguente tendenza della popolazione a stabilizzarsi asintoticamente verso un valore massimo costante. Per individuare l’istante \(\bar{t}\) si devono analizzare la funzione velocità di crescita \(v(t)\), cioè la derivata della funzione \(P(t)\):

\[v\left( t \right)=P'\left( t \right)=\frac{64000\cdot {{e}^{-0,2t}}}{{{\left( 1+40{{e}^{-0,2t}} \right)}^{2}}}\]e la funzione “accelerazione” \(a(t)\), cioè la derivata di \(v(t)\), ossia la derivata seconda di \(P(t)\):\[a\left( t \right)=v'\left( t \right)=P''\left( t \right)=\frac{64000\cdot {{e}^{-0,2t}}\left( 8{{e}^{-0,2t}}-0,2 \right)}{{{\left( 1+40{{e}^{-0,2t}} \right)}^{3}}}\]per concludere che, essendo \(a\left( t \right)=0\leftrightarrow {{e}^{-0,2t}}=\frac{1}{40}\to t=5\ln 40\), ed essendo \(a\left( t \right)>0\) per \(t<5\ln 40\) e \(a\left( t \right)<0\) per \(t>5\ln 40\), tale istante rappresenta un punto di flesso per il grafico di \(P(t)\), e la velocità \(v(t)\) presenta per \(\bar{t}=5\ln 40\) il massimo cercato, cioè:

\[\bar{t}=5\ln 40\approx 18,444\ mesi\approx 18\ mesi\ 13\ giorni\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Giovanni la seguente domanda:

Gent.mo Professore,

non riesco a trovare il risultato esatto dei seguenti tre problemi:

1) Considerato il triangolo rettangolo isoscele \(ABC\) di cateti \(AB=AC=a\), detta \(AH\) l’altezza relativa all’ipotenusa, si tracci internamente all’angolo \(H\hat{A}B\) una semiretta con estremo in \(A\) fino a incontrare in \(E\) la parallela condotta per \(B\) alla retta \(AH\), indicando con \(D\) la sua intersezione con l’ipotenusa \(BC\), in modo che risulti: \(2DB+BE=kBC\) (\(k\in {{\mathbb{R}}^{+}}\)).

2) In un angolo di vertice \(V\) e ampiezza \(2x\) sono inscritte due circonferenze di raggi \(r\) ed \(R\) e centri \(O\) e \(O’\) (\(r<R\)), tangenti tra loro esternamente nel punto \(T\). Siano \(A\) e \(B\) i punti di tangenza con lo stesso lato dell’angolo. Verificare che l’angolo \(A\hat{T}B\)  è retto ed esprimere \(R\) per mezzo di \(r\) e \(x\). Verificare che la somma dei quadrati dei lati del triangolo \(ATB\) è uguale a \(8Rr\). Determinare infine l’angolo in modo che il perimetro del triangolo \(OAV\) sia \(kr\) (\(k\in {{\mathbb{R}}^{+}}\)).

3) Sia \(B\) il punto medio del segmento \(AC=4L\). Costruire la semicirconferenza di diametro \(AB\) e il triangolo \(BCD\), isoscele sulla base \(BC\) e avente altezza \(DH=(4L)/3\), in semipiani opposti rispetto alla retta \(AC\). Determinare poi una retta \(s\) passante per \(B\) che incontri la semicirconferenza in \(M\) e il lato \(DC\) in \(P\) in modo che risulti: \(AM+BM=kBP\) (\(k\in {{\mathbb{R}}^{+}}\)).

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Giovanni,

nel primo caso, posto \(x=H\hat{A}D=B\hat{E}D \), con \(0<x\le \frac{\pi }{4}\), si osserva che: \[AH=BH=\frac{\sqrt{2}}{2}a\quad DH=AH\tan x=\frac{\sqrt{2}}{2}a\tan x\] \[DB=BH-DH=\frac{\sqrt{2}}{2}a\left( 1-\tan x \right)\]\[BE=\frac{DB}{\tan x}=\frac{\sqrt{2}}{2}a\left( \frac{1-\tan x}{\tan x} \right)\] per cui l’equazione richiesta si traduce nella seguente, tenendo conto che \(0<\tan x\le 1\) nei limiti del problema: \[2{{\tan }^{2}}x+\left( 2k-1 \right)\tan x-1=0\quad .\] Posto \(X=\tan x\), \(Y={{X}^{2}}\), il problema si traduce nel seguente sistema geometrico-analitico: \[\left\{ \begin{array}{lll} Y=X^2 \\ 2Y+(2k-1)X-1=0 \\ 0<X\le 1 \end{array} \right.\] Poiché il fascio proprio di rette \(2Y+(2k-1)X-1=0\) ha centro \(0,1/2)\), ruota in senso orario, incontra l’estremo \((1,1)\) dell’arco di parabola per \(k=0\) e l’estremo \((0,0)\) per \(k=\infty\), si può concludere che il problema ammette una e una sola soluzione accettabile per ogni \(k\ge 0\).

Nel secondo caso, posto \(x=O\hat{V}A\), essendo isosceli i triangoli \(OTA\) e \(O’TB\), si osserva che  \[O\hat{T}A=\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2},O'\hat{T}B=\frac{\pi }{4}+\frac{x}{2}\] per cui         \[A\hat{T}B=\pi -\left( O\hat{T}A+O'\hat{T}B \right)=\pi -\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}\] cioè \(ATB\) è rettangolo. Inoltre:\[R=\frac{VB}{VA}r=\left( 1+\frac{AB}{VA} \right)r=\left( 1+\frac{R+r}{r}\sin x \right)r\to R=r\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\quad .\]Si ha inoltre:\[A{{B}^{2}}=OO{{'}^{2}}-{{\left( O'B-OA \right)}^{2}}={{\left( R+r \right)}^{2}}-{{\left( R-r \right)}^{2}}=4rR\]da cui segue \[A{{B}^{2}}+A{{T}^{2}}+B{{T}^{2}}=8rR\quad .\]Infine, poiché:\[VO=\frac{r}{\sin x},VA=VO=\frac{r\cos x}{\sin x},OA=r\]l’equazione richiesta diventa, per \(0<x<\frac{\pi }{2}\):\[\cos x+\left( 1-k \right)\sin x+1=0\]che, posto \(X=\cos x\), \(Y=\sin x\), si riduce al sistema \[\left\{ \begin{array}{lll} X+(1-k)Y+1=0 \\ X^2+Y^2=1 \\ 0<X,Y<1 \end{array} \right.\] che ammette una e una sola soluzione per \(k>2\), come si deduce dal fatto che il fascio di rette, di centro \((-1,0)\), ruota in senso orario.

Infine, nel terzo caso, posto \(\gamma= B\hat{C}D=C\hat{B}D=\arctan \frac{4}{3}\), \(x=C\hat{B}P\), con \(0\le x\le \gamma\), si ha:\[AM=2L\sin x,BM=2L\cos x,BP=\frac{2L\sin \gamma }{\sin \left( x+\gamma  \right)}\]cioè, essendo \(\sin \gamma =\frac{4}{5}\) e \(\cos \gamma =\frac{3}{5}\):\[BP=\frac{8L}{3\sin x+4\cos x}\quad .\] Ne consegue l’equazione richiesta:\[\left( \sin x+\cos x \right)\left( 3\sin x+4\cos x \right)=4k\to \cos 2x+7\sin 2x=8k-7\]che, posto \(X=\cos 2x\), \(Y=\sin 2x\), origina il seguente sistema:\[\left\{ \begin{array}{lll} X+7Y=8k-7 \\ X^2+Y^2=1 \\ -7/25\le X\le 1,0\le Y \le 1 \end{array} \right.\]da cui, ricavando le rette del fascio improprio di pendenza \(-1/7\) con l’arco di circonferenza goniometrica di estremi \((1,0)\) e \((-7/25,24/25)\), si ha che il problema ammette una soluzione per \(1\le k<42/25\), due soluzioni per \(42/25\le k\le (7+5\sqrt{2})/8\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Davide la seguente domanda:

Gent.mo prof. Bergamini,

avrei bisogno di un aiuto su un problema (n. 6, pag.344 Matematica.blu 2.0):

Data la parabola di equazione \(y=x^2-6x+8\), trova quale punto della retta \(y=-2x-1\) ha la distanza minima dalla parabola.

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Davide,

conviene operare nel modo seguente: dato \(P(x,x^2-6x+8)\) generico punto della parabola, la sua distanza dalla retta \(2x+y+1=0\) è data dalla funzione \[d(x)=\left |(2x+x^2-6x+8+1\right |/\sqrt{5}=(x^2-4x+9)/\sqrt{5}\] dove il valore assoluto non è necessario in quanto il trinomio di \(2^\circ\) grado è sempre positivo; \(d(x)\) ha il suo minimo in corrispondenza del vertice della parabola che ne rappresenta il grafico, cioè per \(x=2\), corrispondente a \(P(2,0)\). Per ricavare il corrispondente punto sulla retta si tratta ora di ricavare la proiezione perpendicolare \(H\) di \(P\) sulla retta, cioè l’intersezione tra \(y=-2x-1\) e \(y=\frac{1}{2}(x-2)\), cioè \(H(0,-1)\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Marcello la seguente domanda:

Gentile professore,

le sarei grato se mi aiutasse a risolvere i seguenti esercizi (nn. 66, 68, 71 pag.1202 Matematica Azzurro):

Utilizzando la definizione di limite, verifica i seguenti limiti: \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)=1\quad\quad \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-4}{x-2}=4\quad\quad \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+4}{x}=4\quad .\]

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Marcello,

posto che sia \(\varepsilon >0\) un numero reale piccolo a piacere, nel primo caso si tratta di verificare che esista comunque un intorno di \(x=0\) tale che per ogni \(x\) di tale intorno, escluso al più \(x=0\) stesso, si abbia:\[\left| {{x}^{2}}-2x+1-1 \right|<\varepsilon \to \left| {{x}^{2}}-2x \right|<\varepsilon \to {{x}^{2}}-2x-\varepsilon <0\ \wedge \ {{x}^{2}}-2x+\varepsilon >0\to \] \[\to 1-\sqrt{1+\varepsilon }<x<1+\sqrt{1+\varepsilon }\ \wedge \ x<1-\sqrt{1-\varepsilon }\ \vee \ x>1+\sqrt{1-\varepsilon }\to \] \[\to 1-\sqrt{1+\varepsilon }<x<1-\sqrt{1-\varepsilon }\quad  \vee\quad 1+\sqrt{1-\varepsilon }<x<1+\sqrt{1+\varepsilon }\]

Il primo dei due insiemi, cioè \(1-\sqrt{1+\varepsilon }<x<1-\sqrt{1-\varepsilon }\), rappresenta l’intorno di \(x=0\) cercato, per cui il limite risulta verificato. Si noti che l’insieme contiene anche un intorno di \(x=2\), il che dimostra che è anche \(\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)=1\).

Nel secondo caso, verifichiamo che esista un intorno di \(x=2\) tale che per ogni \(x\) di tale intorno, escluso al più \(x=2\) stesso, si abbia:           \[\left| \frac{{{x}^{2}}-4}{x-2}-4 \right|<\varepsilon \to \left| x+2-4 \right|<\varepsilon \to \left| x-2 \right|<\varepsilon \]che si presenta immediatamente come l’intorno di \(x=2\) cercato; si noti la possibilità di semplificare il fattore comune nella frazione algebrica, dovuto al fatto che siamo interessati solo ai valori di \(x\) vicini a \(x=2\) ma non a \(x=2\) stesso, e tale fattore, per \(x\ne 2\), è non nullo e quindi semplificabile.

Infine, anche nell’ultimo caso siamo interessati a cercare un intorno di \(x=2\) tale che per ogni \(x\) di tale intorno, escluso al più \(x=2\) stesso, si abbia:\[\left| \frac{{{x}^{2}}+4}{x}-4 \right|<\varepsilon \to \left| \frac{{{x}^{2}}-4x+4}{x} \right|<\varepsilon \to \]\[\frac{{{x}^{2}}-\left( 4+\varepsilon  \right)x+4}{x}<0\ \wedge \ \frac{{{x}^{2}}-\left( 4-\varepsilon  \right)x+4}{x}>0\to \]\[\frac{{{x}^{2}}-\left( 4+\varepsilon  \right)x+4}{x}<0\ \wedge \ \frac{{{x}^{2}}-\left( 4-\varepsilon  \right)x+4}{x}>0\to \]\[2+\frac{\varepsilon -\sqrt{8\varepsilon +{{\varepsilon }^{2}}}}{2}<x<2+\frac{\varepsilon +\sqrt{8\varepsilon +{{\varepsilon }^{2}}}}{2}\ \wedge \ x>0\to \]\[2-\frac{\sqrt{8\varepsilon +{{\varepsilon }^{2}}}-\varepsilon}{2}<x<2+\frac{\varepsilon +\sqrt{8\varepsilon +{{\varepsilon }^{2}}}}{2}\]che è l’intorno cercato; si noti che la seconda disequazione si è ridotta a \(x>0\) in quanto il numeratore è un trinomio con discriminante negativo, essendo \(4-\varepsilon <4\), e pertanto sempre positivo.

Massimo Bergamini

Ricevo da Fabio la seguente domanda:

Calcola il volume del solido generato dalla rotazione completa attorno all’asse \(x\) del trapezoide individuato dal grafico della funzione \(y=x^3\) nell’intervallo \([0;1]\).

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Fabio,

si tratta semplicemente di calcolare il seguente integrale definito:

\[\pi \int\limits_{0}^{1}{{{\left( {{x}^{3}} \right)}^{2}}dx}=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{6}}dx}=\pi \left[ \frac{1}{7}{{x}^{7}} \right]_{0}^{1}=\frac{\pi }{7}\quad .\]

Massimo Bergamini