Ricevo da Dipok la seguente domanda:
Salve professore,
ho incontrato molte difficoltà nello studiare la funzione \[f\left( x \right)=\frac{1-\sin x}{1+\sin x}\quad .\]
Non ho avuto problemi fino al punto in cui si trovano i punti di intersezione, ma ho dei dubbi sul segno, sul comportamento della funzione quando \(x\) tende a infinito e nel trovare i massimi e i flessi.
La ringrazio in anticipo.
Gli rispondo così:
Caro Dipok,
innanzitutto il dominio: \[{{D}_{f}}=\mathbb{R}-\left\{ \frac{3}{2}\pi +2k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}\] e il periodo: \(P=2\pi\), nonché gli zeri: \[f\left( x \right)=0\leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\quad .\]
Riguardo al segno, la funzione risulta positiva per ogni \(x\in D_f\) diverso dai valori precedentemete individuati come zeri della funzione, infatti: \[1-\sin x>0\leftrightarrow \sin x<1\leftrightarrow x\ne \frac{\pi }{2}+2k\pi \]\[1+\sin x>0\leftrightarrow \sin x>-1\leftrightarrow x\ne \frac{3\pi }{2}+2k\pi \quad .\] Possiamo limitare lo studio della funzione ad un intervallo corrispondente ad un periodo, ad esempio l’intervallo \(\left] -\frac{\pi }{2},\frac{3}{2}\pi \right[\), e osservare che la funzione ha anche una simmetria rispetto all’asse \(x=\frac{\pi }{2}\), infatti: \[f\left( \pi -x \right)=\frac{1-\sin \left( \pi -x \right)}{1+\sin \left( \pi -x \right)}=\frac{1-\sin x}{1+\sin x}=f\left( x \right)\quad .\] Riguardo ai limiti, è quindi sufficiente considerare ad esempio: \[\underset{x\to \frac{3}{2}{{\pi }^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\sin x}{1+\sin x}\to \frac{2}{{{0}^{+}}}=+\infty\] dal momento che questo, per la suddetta simmetria, sarà uguale a \(\underset{x\to -\pi /{{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\), e così in ciascuno degli estremi degli infiniti intervalli che replicano 
l’intervallo \(\left] -\frac{\pi }{2},\frac{3}{2}\pi \right[\) per periodicità, in corrispondenza ai quali si hanno altrettanti asintoti verticali per il grafico di \(f(x)\). Quanto al limite per \(x\) che tende a \(\pm\infty\) è chiaro che non esiste, come avviene per ogni funzione periodica che non si riduca ad una costante: ce ne possiamo convincere osservando che si possono “estrarre” dal dominio due successioni distinte, ad esempio: \[{{a}_{k}}=2k\pi \quad {{b}_{k}}=\frac{\pi }{2}+2k\pi \quad \quad k\in \mathbb{Z}\] entrambe divergenti a \(\pm\infty\), tali che la funzione, calcolata in tali valori, forma due successioni convergenti a limiti distinti, contravvenendo l’unicità del presunto limite: \[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( {{a}_{k}} \right)=1\quad \underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,f{{\left( {{b}_{k}} \right)}_{k}}=0\quad .\] Passando all’analisi delle funzioni derivata prima e seconda, si ha: \[f'\left( x \right)=-\frac{2\cos x}{{{\left( 1+\sin x \right)}^{2}}}\quad f''\left( x \right)=\frac{2\left( -{{\sin }^{3}}x+3\sin x+2 \right)}{{{\left( 1+\sin x \right)}^{4}}}=-\frac{2\left( \sin x-2 \right)}{{{\left( 1+\sin x \right)}^{2}}}\] da cui si ricavano le seguenti conclusioni:
1) la funzione è decrescente in \(\left] -\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi \right[\), crescente in \(\left] \frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{3}{2}\pi +2k\pi \right[\), e presenta minimi relativi in \(x=\frac{\pi }{2}+2k\pi \);
2) essendo \(f”\left( x \right)>0\) per ogni \(x\in {{D}_{f}}\), la funzione ha sempre la concavità rivolta verso l’alto, e non presenta punti di flesso.
Massimo Bergamini