Teorema dei coseni

Ricevo da Adonella la seguente domanda:
 
Mi scusi Professore,
ma proprio non riesco a risolvere questo problema:
Sia \(A\hat{O}B\) un angolo di ampiezza \(120^\circ\). \(AO\) misura \(2a\) e \(BO\) misura \(a\). Determinare il punto \(P\) sulla bisettrice di \(A\hat{O}B\) in modo che risulti \(PA^2 + PB^2 = 7a^2\).
Grazie.
 
Le rispondo così:
 
Cara Adonella,
posto \(PO=x\), e inteso che \(P\) appartenga all’angolo convesso \(A\hat{O}B\), possiamo applicare il teorema dei coseni ai triangoli \(POB\) e \(POA\), ottenendo:  \[\begin{align}  & P{{B}^{2}}=P{{O}^{2}}+O{{B}^{2}}-2PO\cdot OB\cdot \cos 60{}^\circ ={{x}^{2}}+{{a}^{2}}-ax \\  & P{{A}^{2}}=P{{O}^{2}}+O{{A}^{2}}-2PO\cdot OA\cdot \cos 60{}^\circ ={{x}^{2}}+4{{a}^{2}}-2ax \\ \end{align}\]da cui:        \[P{{A}^{2}}+P{{B}^{2}}=7{{a}^{2}}\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-3ax-2{{a}^{2}}=0\] cioè \(x=PO=2a\) come sola soluzione accettabile.
 
Massimo Bergamini