Rette tangenti

Ricevo da Nadia la seguente domanda:
 
Determina in quali punti della funzione di equazione \[y=\frac{{{x}^{2}}-1}{x+3}\] la retta tangente è parallela a quella di equazione \(2y-x+6=0\).
Grazie.
 
Le rispondo così:
 
Cara Nadia,
la richiesta equivale alla condizione che la derivata della funzione assuma il valore \(\frac{1}{2}\), essendo questo il coefficiente angolare della retta assegnata. Si tratta pertanto di calcolare la funzione derivata \(y’(x)\) e risolvere l’equazione \(y’(x)=\frac{1}{2}\):        \[y'=\frac{2x\left( x+3 \right)-\left( {{x}^{2}}-1 \right)}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}+6x+1}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}\] da cui: \[\frac{{{x}^{2}}+6x+1}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}=\frac{1}{2}\to {{x}^{2}}+6x-7=0\to {{x}_{A}}=-7\vee {{x}_{B}}=1\quad .\] Pertanto i punti cercati sono i seguenti:\[A\left( -7,-12 \right)\quad \quad B\left( 1,0 \right)\quad .\]
Massimo Bergamini