Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
non so come iniziare quest’altro quesito:
Considera i triangoli la cui base sia \(AB=1\) e il cui vertice \(C\) vari in modo che l’angolo \(C\hat{A}B\) si mantenga triplo dell’angolo \(A\hat{B}C\).
a) Considera un sistema di coordinate cartesiane con origine nel vertice \(A\), semiasse positiva \(x\) su \(AB\) e tale che il vertice \(C\) giaccia sul primo quadrante. Determina l’equazione del luogo geometrico descritto da \(C\).
b) Determina il rapporto \(k\) tra l’altezza del triangolo relativa al lato \(AC\) e l’altezza relativa al lato \(BC\) in funzione di \(\alpha=A\hat{B}C\) È possibile che sia \(k=9/16\)?
c) Calcolare il
valore di \(k\) trovato al punto precedente per \(\alpha =\pi/5\). Com’è in tal caso il triangolo?
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
con riferimento alla figura, possiamo osservare che si deve avere \(0<A\hat{B}C<\pi/4\), poiché ovviamente la somma degli angoli interni non deve superare \(\pi\), e inoltre il punto \(C\) può essere ottenuto come intersezione tra la retta \(BD\) e l’asse del segmento \(AD\), essendo \(D(1/2,h)\) con \(0<h<1/2\). Ricaviamo quindi in termini del parametro \(h\) le equazioni delle suddette rette: \[r:y=-2hx+2h\quad \quad s:y=-\frac{x}{2h}+\frac{4{{h}^{2}}+1}{8h}\quad .\]
Invece di ricavare le coordinate del punto \(C\), intersezione delle rette \(r\) ed \(s\), in termini di \(h\), possiamo direttamente ricavare l’equazione del luogo descritto da \(C\) osservando che l’equazione \(r\) può essere esplicitata rispetto ad \(h\), e quindi sostituita nell’equazione di \(s\) (tenendo conto che le condizioni su \(h\) e su \(y\) implicano sicuramente almeno \(x<1\)): \[h=\frac{y}{2\left( 1-x \right)}\to y=\frac{-4x{{\left( 1-x \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( 1-x \right)}^{2}}}{4y\left( 1-x \right)}\to \]\[\to {{y}^{2}}=\frac{{{\left( 1-x \right)}^{2}}\left( 4x-1 \right)}{\left( 4x-3 \right)}\to y=\left( 1-x \right)\sqrt{\frac{4x-1}{4x-3}},\ 0\le x<\frac{1}{4},\ 0<y\le \frac{\sqrt{3}}{3}\quad .\] Poiché \(A\hat{C}B=\pi-4\alpha\), possiamo ricavare, in base al teorema dei seni e alle usuali relazioni trigonometriche: \[BC=\frac{\sin 3\alpha }{\sin 4\alpha }\to BK=\sin 3\alpha \quad AH=\sin \alpha \]per cui: \[k\left( \alpha \right)=\frac{BK}{CH}=\frac{\sin 3\alpha }{\sin \alpha }=4{{\cos }^{2}}\alpha -1\quad .\] Pertanto, la richiesta che sia \(k(\alpha)=9/16\) implica l’equazione \(\cos\alpha=\pm 5/8\), che non ammette soluzioni nell’intervallo \(0<\alpha\pi/4\), essendo \(\arccos (5/8)\approx 51,32{}^\circ\). Infine, poichè \(\alpha =\pi/5\) implica \(A\hat{C}B=\pi-4\alpha=\pi/5\), il triangolo \(ABC\) risulta isoscele di vertice \(A\), e tale che \[k\left( \frac{\pi }{5} \right)=4{{\cos }^{2}}\left( \frac{\pi }{5} \right)-1=4{{\left( \frac{\sqrt{5}+1}{4} \right)}^{2}}-1=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\quad .\]
Massimo Bergamini