Due problemi geometrici

Ricevo da Elisa la seguente domanda:
 
Caro professore,
mi aiuti a capire questi quesiti:
1) Data una circonferenza di centro \(O\) e raggio \(r\), si consideri una circonferenza interna alla precedente e con lo stesso centro \(O\). Da un qualunque punto \(C\) della circonferenza data si conducano le tangenti alla circonferenza interna che intersecano in \(A\) e \(B\) la circonferenza data. Quale deve essere il raggio \(x\) della seconda circonferenza perchè nel triangolo isoscele \(ABC\) la base sia uguale a metà del lato?
2) Tre rettangoli di ugual base sono rispettivamente equivalenti al quadrato di lato \(2a\sqrt{7}\), al suo doppio ed al suo quadruplo. Trovare le altezze sapendo che la somma di queste ultime è uguale alla comune base.
Grazie mille.
 
Le rispondo così: 
 
Cara Elisa, 
nel primo caso, osservando la figura, deduciamo la congruenza dei triangoli rettangoli \(COD\) e \(BOD\), nonché la similitudine dei triangoli rettangoli \(COD\) e \(CHB\); in base a ciò e utilizzando il teorema di Pitagora, possiamo concludere che:      \[CB=2CD=2\sqrt{{{r}^{2}}-{{x}^{2}}}\quad \left( CO+OH \right):CB=CD:CO\]da cui: \[OH=\frac{CD\cdot CB-{{r}^{2}}}{r}=\frac{{{r}^{2}}-2{{x}^{2}}}{r}\to HB=\sqrt{{{r}^{2}}-O{{H}^{2}}}=\frac{2x}{r}\sqrt{{{r}^{2}}-{{x}^{2}}} \quad .\] Pertanto, la richiesta che sia \(CB=2AB\) è soddisfatta se e solo se:  \[2\sqrt{{{r}^{2}}-{{x}^{2}}}=\frac{8x}{r}\sqrt{{{r}^{2}}-{{x}^{2}}}\to \frac{4x}{r}=1\to x=\frac{r}{4}\quad .\]
Nel secondo quesito, dette \(x\), \(y\) e \(z\) le rispettive altezze dei rettangoli di base comune \(x+y+z\), le ipotesi equivalgono al seguente sistema di equazioni:          \[f(x)=\left\{ \begin{array}{lll} x(x+y+z)=28a^2 \\ y(x+y+x)=56a^2 \\ z(x+y+z)=112a^2 \end{array} \right.\] Sostituendo alle prime due equazioni le equazioni che si ottengono dai rapporti tra la seconda e la prima e tra la terza e la prima (le quantità interessate sono per ipotesi tutte non nulle), si ha il seguente sistema: \[f(x)=\left\{ \begin{array}{lll} y=2x \\ z=4x \\ (x+4x)(x+2x+4x)=140a^2 \end{array} \right.\] cioè:           \[35{{x}^{2}}=140{{a}^{2}}\to x=2a,\quad y=4a,\quad z=8a\quad .\]
Massimo Bergamini