Ricevo da Maria Rita la seguente domanda:
Caro professore,
vorrei un suggerimento per risolvere il seguente esercizio (n.7, pag.391, Matutor).
In un riferimento cartesiano ortogonale si rappresenti l’insieme \(\Sigma\) dei punti \((x;y)\) per i quali risulta \({{e}^{\frac{1}{x}}}-{{y}^{2}}>0\).
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Maria Rita,
la disequazione in questione può essere sviluppata nel modo seguente, posto che sia \(x\ne 0\): \[{{y}^{2}}<{{e}^{\frac{1}{x}}}\to -{{e}^{\frac{1}{2x}}}<y<{{e}^{\frac{1}{2x}}}\] cioè la regione da rappresentare è quella dei punti le cui ordinate sono comprese tra il grafico della funzione \(y={{e}^{\frac{1}{2x}}}\) e il grafico della sua simmetrica rispetto all’asse \(x\), cioè \(y=-{{e}^{\frac{1}{2x}}}\); tale funzione è monotona decrescente a tratti (la sua derivata è negativa per ogni \(x\ne 0\), e il suo grafico presenta un asintoto orizzontale \(y=1\) per \(x\) che tende a \(\pm \infty\), un asintoto verticale per \(x\) che tende a \(0^+\), mentre per \(x\) che tende a \(0^-\) la funzione tende a \(0\).
Massimo Bergamini