Ricevo da Paola la seguente domanda:
Gent.mo Professore,
mi potrebbe aiutare a risolvere il seguente problema (pag.31, n.99, Verso la seconda prova di matematica)?
Considera l’equazione differenziale \(y’=\frac{y}{{{x}^{2}}}\).
a. Dimostra, senza risolvere l’equazione, che ogni sua soluzione ha derivata seconda nulla in corrispondenza di \(x=\frac{1}{2}\).
b. Ricava la soluzione generale dell’equazione differenziale e risolvi il corrispondente problema di Cauchy individuato dalla condizione iniziale \(y\left( 1 \right)=\frac{1}{e}\).
c. Si può affermare che per \(x=\frac{1}{2}\) il grafico di ogni soluzione che non si riduca alla funzione nulla \(y=0\) presenta un punto di flesso? Motiva la risposta.
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Paola,
riguardo al primo punto, consideriamo la derivata di entrambi i membri dell’equazione stessa, e otteniamo: \[y”=\frac{y'{{x}^{2}}-2yx}{{{x}^{4}}}=\frac{y-2yx}{{{x}^{4}}}=\frac{y\left( 1-2x \right)}{{{x}^{4}}}\] il che dimostra che, qualunque sia la soluzione \(y(x)\), si ha \(y”\left( \frac{1}{2} \right)=16y\left( \frac{1}{2} \right)\cdot 0=0\).
L’equazione è del primo ordine a variabili separabili, per cui, posto \(y\ne 0\) (\(y=0\) è comunque una soluzione), si ha: \[\int{\frac{dy}{y}}=\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}}}\to \ln \left| y \right|=-\frac{1}{x}+c\to y\left( x \right)=\pm {{e}^{c}}\cdot {{e}^{-\frac{1}{x}}}=c\cdot {{e}^{-\frac{1}{x}}}\] avendo indicato con \(c\) una costante reale qualsiasi (eventualmente anche nulla). La condizione di Cauchy implica: \[c\cdot {{e}^{-1}}={{e}^{-1}}\to c=1\to y\left( x \right)={{e}^{-\frac{1}{x}}}\quad .\]
Infine, si può affermare che per \(x=\frac{1}{2}\) il grafico di ogni soluzione che non si riduca alla funzione nulla \(y=0\) presenta un punto di flesso perché, essendo \(y\left( \frac{1}{2} \right)\ne 0\) per ogni soluzione non nulla, si vede che la derivata seconda di ogni possibile \(y(x)\) cambia segno in un intorno di \(x=\frac{1}{2}\), quindi tale punto rappresenta comunque un flesso.
Massimo Bergamini