Ricevo da Patrizia la seguente domanda:
Buongiorno,
come posso risolvere la disequazione: \[\frac{1}{2}\sin \left( 2x \right)+\cos x<\frac{3\sqrt{3}}{4}\quad ?\]
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Patrizia,
studiamo la funzione \(f\left( x \right)=\frac{1}{2}\sin \left( 2x \right)+\cos x=\cos x\left( \sin x+1 \right)\), definita, continua e derivabile in tutto \(\mathbb{R}\) e periodica di periodo \(2\pi\). La sua derivata, \(f’\left( x \right)=-2{{\sin }^{2}}x-\sin x+1\) si annulla per \(x=\pi/6\), \(x=5\pi/6\) e \(x=3\pi/2\): analizzando il segno di \(f’(x)\), si deduce che in \(x=\pi/6\) si ha un massimo, relativo e assoluto, mentre in \(x=5\pi/6\) si ha un minimo e in \(x=3\pi/2\) si ha un flesso orizzontale. Poiché il valore massimo della funzione è proprio \[f\left( \frac{\pi }{6} \right)=\frac{3\sqrt{3}}{4}\] possiamo concludere che la disequazione in questione è vera per ogni \(x\ne \frac{\pi }{6}+2k\pi \), con \(k\in\mathbb{Z}\).
Massimo Bergamini