Ricevo da Domenica la seguente domanda:
Gentile professore
ho questa dimostrazione:
Considerata vera la seguente relazione: \(2ab\le a^2+b^2\) per ogni \(a,b\) appartenenti ad \(\mathbb{R}\), dimostrare che per ogni \(x,y\) appartenenti ad \(\mathbb{R}\), ed \(\alpha>0\), con \(\alpha\) numero reale, si ha: \[2xy\le \alpha {{x}^{2}}+\frac{1}{\alpha }{{y}^{2}}\quad .\]
La ringrazio.
Le rispondo così:
Cara Domenica,
poiché \(\alpha>0\), possiamo moltiplicare ambo i membri della diseguaglianza da dimostrare e ricavare che \[2xy\le \alpha {{x}^{2}}+\frac{1}{\alpha }{{y}^{2}}\leftrightarrow 2\alpha xy\le {{\alpha }^{2}}{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\leftrightarrow {{\alpha }^{2}}{{x}^{2}}-2\alpha xy+{{y}^{2}}\ge 0\] ma poiché \[{{\alpha }^{2}}{{x}^{2}}-2\alpha xy+{{y}^{2}}={{\left( \alpha x-y \right)}^{2}}\ge 0\quad \forall x,y\in \mathbb{R}\] la tesi è dimostrata.
Massimo Bergamini