Ricevo da Lucio la seguente domanda:
Caro professore,
non mi è chiara la traccia e la risoluzione del seguente problema di geometria analitica (pag.330, n.565, Matematica.blu 2.0).
Data la parabola \(\gamma\) di equazione \(y=\frac{1}{2}x^2-2\) e il punto \(A(0;2)\), considera su \(\gamma\) un punto \(P\) ed esprimi, al variare dell’ascissa di \(P\), la funzione \(y={{\overline{OP}}^{2}}-{{\overline{PA}}^{2}}\) essendo \(O\) l’origine del sistema di riferimento. Rappresenta graficamente la funzione ottenuta e determina per quale valore di \(x\) assume il valore minimo.
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Lucio,
detta \(x\) l’ascissa di \(P\in \gamma\), si ha \(P(x;\frac{1}{2}x^2-2)\), per cui:
\(y={{\overline{OP}}^{2}}-{{\overline{PA}}^{2}}=x^2+(\frac{1}{2}x^2-2)^2-x^2-(\frac{1}{2}x^2-4)^2=2x^2-12\)
pertanto tale funzione è a sua volta rappresentata da una parabola con vertice
appartenente all’asse \(y\), che quindi presenta il suo valore minimo, cioè \(-12\), in corrispondenza all’ascissa del vertice, cioè per \(x=0\).
Massimo Bergamini