Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Professore,
la prego di spiegarmi lo studio di questa funzione: \[f\left( x \right)={{x}^{2}}\left( \ln x-e \right)\quad .\]
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
la funzione è definita, continua e derivabile nel dominio \({{D}_{f}}=\left] 0,+\infty \right[\), si annulla per \(x={{e}^{e}}\approx 15,15\), è negativa per \(0<x<{{e}^{e}}\), positiva per \(x>e^e\). Utilizzando nel primo caso il teorema di de l’Hospital, si verificano i seguenti limiti alla frontiera del dominio: \[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln x-e}{{{x}^{2}}}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1/x}{-2/{{x}^{3}}}=-\frac{1}{2}\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}=0\]\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}\cdot \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \ln x-e \right)=+\infty \cdot +\infty =+\infty \quad .\]
Non si danno asintoti di alcun tipo per il grafico di \(f(x)\). Calcoliamo le derivate prima e seconda: \[f’\left( x \right)=x\left( 2\ln x-2e+1 \right)\quad f”\left( x \right)=2\ln x-2e+3\] e studiamone zeri e segno: \[f’\left( x \right)=0\leftrightarrow x={{e}^{e-\frac{1}{2}}}=\frac{{{e}^{e}}}{\sqrt{e}}\approx 9,2\]\[f”\left( x \right)=0\leftrightarrow x={{e}^{e-\frac{3}{2}}}=\frac{{{e}^{e}}}{e\sqrt{e}}\approx 3,4\] da cui si deduce la presenza di un minimo relativo (e assoluto) in \(x=\frac{{{e}^{e}}}{\sqrt{e}}\) e di un flesso, con concavità che passa da “verso giù” a “verso su”, in corrispondenza a \(x=\frac{{{e}^{e}}}{e\sqrt{e}}\).
Massimo Bergamini