Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Professore,
altri due quesiti che non ho saputo risolvere:
1) Si consideri il rombo \(ABCD\) di lato \(a\) che ruota di un giro completo attorno ad un asse passante per il vertice \(A\) parallelo alla diagonale \(BD\). Calcolare il volume del solido ottenuto in funzione di \(BD=2x\) e determinare il valore di \(x\) in modo che il volume sia il massimo possibile.
2) Fra tutte le ellissi circoscritte al quadrato i cui vertici sono \((\pm 2;\pm 2)\), determinare quella di area minima.
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
nel primo caso, si osserva che il solido in questione è costituito da un doppio tronco di cono privato di un doppio cono, il cui volume in funzione di \(x=OD\) è dato da: \[V\left( x \right)=\frac{2}{3}\pi \left[ x\left( 4\left( {{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right)+2\left( {{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right)+\left( {{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right) \right)-x\left( {{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right) \right]=\]\[=4\pi x\left( {{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right)\] per cui, derivando e studiando zeri e segno della derivata, si ha: \[V’\left( x \right)=4\pi \left( {{a}^{2}}-3{{x}^{2}} \right)\to V’\left( x \right)=0\leftrightarrow x=\frac{\sqrt{3}}{3}a\]
valore che corrisponde al massimo cercato.
Nel secondo caso, la famiglia di ellissi passanti per i punti \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\) ha equazione \(\frac{4}{{{a}^{2}}}+\frac{4}{{{b}^{2}}}=1\), per cui i valori \(a\) e \(b\) sono legati dalla relazione \[b=\frac{2a}{\sqrt{{{a}^{2}}-4}}\quad a>2\] e quindi l’area dell’ellisse può essere espressa in funzione di \(a\):\[S\left( a \right)=\pi ab=\frac{2\pi {{a}^{2}}}{\sqrt{{{a}^{2}}-4}}\] da cui, derivando e studiando zeri e segno della derivata: \[S’\left( a \right)=\frac{2\pi a\left( {{a}^{2}}-8 \right)}{{{\left( {{a}^{2}}-4 \right)}^{3/2}}}\to S’\left( a \right)=0\leftrightarrow a=2\sqrt{2}\] valore che corrisponde al minimo cercato, cioè \({{S}_{\min }}=8\pi\).
Massimo Bergamini