Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
la prego di aiutarmi a risolvere questi integrali di superficie:\[\iint\limits_{S}{\frac{1}{{{\rho }^{2}}}d\sigma \quad S=\left\{ \left( x,y,z \right)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=64,0\le z\le 1 \right\}}\]\[\iint\limits_{S}{\left( x+y+z \right)d\sigma \quad S=\left\{ \left( x,y,z \right)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1,x\ge 0,y\ge 0,z\ge 0 \right\}\quad .}\]
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
nel primo caso, utilizzando coordinate cilindriche, su \(S\) si ha \(
{{\rho }^{2}}={{z}^{2}}+64\), mentre l’elemento di superficie può essere espresso come \(d\sigma =8d\vartheta dz\), per cui: \[\iint\limits_{S}{\frac{1}{{{\rho }^{2}}}d\sigma =\int\limits_{0}^{2\pi }{\left( \int\limits_{0}^{1}{\frac{8}{{{z}^{2}}+64}dz} \right)}}d\vartheta =\]\[=2\pi \int\limits_{0}^{1/8}{\frac{1}{1+{{t}^{2}}}dt}=2\pi \arctan \left( \frac{1}{8} \right)\quad .\]
Nel secondo caso, utilizzando coordinate sferiche, su \(S\) ((\rho=1\)) si ha \(x+y+z=\sin \varphi \left( \cos \vartheta +\sin \vartheta \right)+\cos \varphi \), mentre l’elemento di superficie può essere espresso come \(d\sigma =\sin \varphi d\vartheta d\varphi\), per cui: \[\iint\limits_{S}{\left( x+y+z \right)d\sigma }=\int\limits_{0}^{\pi /2}{\left( \int\limits_{0}^{\pi /2}{\left( {{\sin }^{2}}\varphi \left( \cos \vartheta +\sin \vartheta \right)+\sin \varphi \cos \varphi \right)d\varphi } \right)}d\vartheta =\]\[=\int\limits_{0}^{\pi /2}{\left( \cos \vartheta +\sin \vartheta \right)d\vartheta \cdot \int\limits_{0}^{\pi /2}{{{\sin }^{2}}\varphi d\varphi }}+\int\limits_{0}^{\pi /2}{d\vartheta \cdot \int\limits_{0}^{\pi /2}{\sin \varphi \cos \varphi d\varphi }}=\]\[=\sqrt{2}\int\limits_{0}^{\pi /2}{\sin \left( \vartheta +\frac{\pi }{4} \right)d\vartheta \cdot \int\limits_{0}^{\pi /2}{\frac{1-\cos 2\varphi }{2}d\varphi }}+\frac{\pi }{4}\int\limits_{0}^{\pi /2}{\sin 2\varphi d\varphi }=2\cdot \frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}\cdot 1=\frac{3\pi }{4}\quad .\]
Massimo Bergamini