Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Professore,
la prego di spiegarmi alcuni vostri esercizi sulle serie (pag.\(\varepsilon\)43, nn. 262, 265, 277, Matematica.verde):
Determina il carattere delle seguenti serie:
\[\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{{{\left( 2+\sin \frac{1}{n} \right)}^{n}}}{{{4}^{n}}+1}}\quad \quad \sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\tan \frac{1}{n}\quad \quad }\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{\sin \frac{1}{n}}{n+\sqrt{n}}}\quad .\]
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
premesso che si tratta in ciascun caso di serie a termini positivi, nel primo caso possiamo concludere che la serie è convergente in base al criterio del confronto, essendo il suo termine generale minore del termine generale di una serie geometrica convergente:
\[\frac{{{\left( 2+\sin \frac{1}{n} \right)}^{n}}}{{{4}^{n}}+1}\le {{\left( \frac{3}{4} \right)}^{n}}\quad \forall n\ge 1\quad .\]
Nel secondo caso, in base al criterio del confronto asintotico possiamo concludere che la serie è divergente, in quanto il suo termine generale risulta asintoticamente equivalente al termine generale della serie armonica, divergente: \[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\tan \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=\underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\tan t}{t}=1\quad .\]
Infine, nel terzo caso è ancora il criterio del confronto asintotico che permette di determinare il carattere convergente della serie, essendo (posto \(t=1/n\)): \[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin \frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n+\sqrt{n}}}{\frac{1}{{{n}^{2}}}}=\underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin t\cdot t}{{{t}^{2}}\left( 1+\sqrt{t} \right)}=1\] ricordando il carattere convergente della serie armonica generalizzata di termine generale \(\frac{1}{{{n}^{2}}}\).
Massimo Bergamini