Ricevo da Mario la seguente domanda:
Salve professore,
Le scrivo nella speranza che Lei possa fugare una mia perplessità sorta in merito agli asintoti. Se l’asintoto è una retta tangente all’infinito del grafico di una funzione, come può il corrispettivo orizzontale intersecare una curva in infiniti punti. Infine, ciò significa che anche un asintoto verticale può intersecare il grafico di una funzione (al massimo in un punto)?
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Mario,
riguardo agli asintoti orizzontali e/o obliqui, per definizione si tratta di rette che, da un certo punto “in avanti”, cioè verso uno o l’altro degli estremi infiniti (punti impropri), distano dai punti del grafico meno di una qualsivoglia quantità positiva, per quanto piccola: questo non esclude affatto che tali rette possano incontrare il grafico stesso in un numero qualsiasi, anche infinito, di punti: esempi classici in tal senso: \[f\left( x \right)=\frac{\sin 2x}{x},\quad f\left( x \right)=x+\frac{\sin 2x}{x}.\] Riguardo agli asintoti verticali, l’unica possibilità di contatto con il grafico è il caso in cui, in presenza di almeno uno dei due limiti unilaterali infinito, la funzione risulti comunque definita in corrispondenza all’ascissa dell’asintoto, ad esempio: \[f\left( x \right)=\frac{1}{x}\ se\ x\ne 0,f\left( x \right)=0\ se\ x=0\quad .\]
Massimo Bergamini