Ricevo da Domenica la seguente domanda:
Gentile professore,
ho il seguente problema:
L’insieme dei punti \(P(x,y)\) tali che la distanza di \(P\) dalla retta \(y=2x+2\) è uguale alla distanza di \(P\) da \(F(2;0)\) è una parabola il cui asse non è parallelo agli assi cartesiani. Tale parabola è congruente a una parabola di equazione \(y=kx^2\), con \(k>0\). Qual è il valore di \(k\)?
Grazie
Le rispondo così:
Cara Domenica,
il luogo dei punti è la parabola di fuoco \(F\) e direttrice la retta \(y=2x+2\), e pertanto il suo 
asse di simmetria, cioè la retta perpendicolare alla direttrice passante per il fuoco, incontra la direttrice nel punto \(H\) tale che il vertice \(V\) è il punto medio del segmento \(FH\). Ne consegue che la traslazione che porta \(V\) nell’origine \(O\) del riferimento, seguita dalla rotazione intorno ad \(O\) dell’angolo \(\alpha\) compreso tra l’asse di simmetria della parabola originale e l’asse delle ordinate, trasforma la parabola stessa in una parabola con vertice nell’origine e fuoco sul semiasse delle ordinate positive, cioè del tipo richiesto. In tale trasformazione, il segmento \(FH\) viene trasformato nel segmento congruente \(F_1H_1\), e poiché \[FH=\frac{\left| 4+2 \right|}{\sqrt{5}}=\frac{6}{\sqrt{5}}\] si deduce che l’ordinata di \(F_1\) debba essere \(c=\frac{3}{\sqrt{5}}\); ricordando che \(k=\frac{1}{4c}\) si ha: \[k=\frac{\sqrt{5}}{12}\to y=\frac{\sqrt{5}}{12}{{x}^{2}}\quad .\]
Massimo Bergamini