Ricevo da Andrea la seguente domanda:
Buongiorno Professore,
potrebbe aiutarmi a svolgere i seguenti esercizi?
\[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{4-4\cos x}{x\sin x}\quad \quad \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+3x \right)}^{\frac{1}{3x}}}\quad .\]
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Andrea,
ricordando le forme notevoli \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}=1\quad \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\cos x}{{{x}^{2}}}=\frac{1}{2}\quad \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+x \right)}^{\frac{1}{x}}}=e\] e utlizzando teoremi fondamentali sul limite di prodotti e di funzioni composte (continue) ricaviamo facilmente: \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{4-4\cos x}{x\sin x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{4\left( 1-\cos x \right)x}{{{x}^{2}}\sin x}=4\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 1-\cos x \right)}{{{x}^{2}}}\cdot \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\sin x}=4\cdot \frac{1}{2}\cdot 1=2\] \[t=3x\to \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+3x \right)}^{\frac{1}{3x}}}=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+t \right)}^{\frac{1}{t}}}=e\quad .\]
Massimo Bergamini