Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
ho alcuni quesiti.
1) Un editore stampa la pagine di un libro lascando \(1\;cm\) di margine in alto, in basso e da una parte, dall’altra parte lascia invece un margine di \(2\;cm\) per rendere possibile la rilegatura. Sapendo che l’area dell’intera pagina è \(384\;cm^2\), trovare le dimensioni che rendano massima l’area della parte stampata.
Se invece stampa le pagine di un libro lasciando gli stessi margini previsti in precedenza, sapendo che l’area della parte stampata è \(294\;cm^2\), quali devono essere le dimensioni dell’intera pagina affinché sia minima l’area della pagina stessa?
2) Un punto \(P\) si muove su una retta e l’ascissa di \(P\) è uguale a \({{e}^{-{{t}^{2}}}}\). In quale istante la velocità di \(P\) è massima? In quale istante la velocità di \(P\) è minima?
3) Due cabine \(A\) e \(B\) devono essere collegate ad una centrale elettrica \(C\). Assumendo che \(A\), \(B\) e \(C\) siano altrettanti punti, si può ritenere che si tratti dei vertici di un triangolo isoscele di base \(AB=8\;km\) e altezza \(HC=12\;km\). Per ridurre le spese dei cavi si decide di porre un primo cavo che colleghi \(C\) con un punto \(K\) dell’altezza \(CH\) e quindi di collegare \(K\) con \(A\) e \(B\). In quale punto va scelto \(K\) affinché la lunghezza totale dei cavi sia la minima possibile?
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
nel primo caso, dette \(x\) e \(y\) le dimensioni del rettangolo che rappresenta l’area stampata, si ha \(\left( x+3 \right)\left( y+2 \right)=384\), da cui \(y=\frac{378-2x}{x+3}\): la funzione da massimizzare è quindi \(p\left( x \right)=xy=\frac{378x-2{{x}^{2}}}{x+3}\). Derivando e uguagliando a zero la derivata si ha: \[p’\left( x \right)=\frac{-2{{x}^{2}}-12x+1134}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}\to p’\left( x \right)=0\leftrightarrow x=21\vee x=-27\] pertanto la sola soluzione accettabile, che rappresenta il massimo cercato, è \(x=21\;cm\), cui corrisponde \(y=14\;cm\). In modo analogo, se si conosce l’area della parte stampata, cioè \(xy=294\), si ricava \(y=294/x\), per cui l’area della pagina risulta \(P\left( x \right)=\left( x+3 \right)\left( \frac{294+2x}{x} \right)=\frac{2{{x}^{2}}+300x+882}{x}\). Derivando e uguagliando a zero la derivata si ha: \[P’\left( x \right)=\frac{4{{x}^{2}}-882}{{{x}^{2}}}\to P’\left( x \right)=0\leftrightarrow x=\pm 21\] e quindi anche in questo caso la sola soluzione accettabile, che rap
presenta il minimo cercato, è \(x=21\;cm\), cui corrisponde \(y=14\;cm\).
Nel secondo quesito, poiché la velocità istantanea è data da \(v\left( t \right)=s’\left( t \right)=-2t{{e}^{-{{t}^{2}}}}\), derivando ulteriormente si ha l’accelerazione \(a\left( t \right)=v’\left( t \right)=-2{{e}^{-{{t}^{2}}}}\left( 2{{t}^{2}}-1 \right)\), che si annulla per \(t=\frac{\sqrt{2}}{2}\,s\): propriamente tale istante corrisponde ad un minimo della velocità, che è sempre negativa (essendo il moto sempre diretto in senso opposto all’orien
tamento positivo dell’asse delle ascisse), ma se si considera il modulo della velocità questo è l’istante in cui esso raggiunge il suo massimo valore, mentre il minimo valore, cioè zero, è raggiunto nell’istante iniziale \(t=0\).
Nell’ultimo quesito, posto \(x=KH\), si ha \(AK=KB=\sqrt{{{x}^{2}}+16}\), per cui la funzione da minimizzare è \(l\left( x \right)=12-x+2\sqrt{{{x}^{2}}+12}\). Derivando e uguagliando a zero la derivata si ha: \[l’\left( x \right)=\frac{2x-\sqrt{{{x}^{2}}+12}}{\sqrt{{{x}^{2}}+12}}\to l’\left( x \right)=0\leftrightarrow 3{{x}^{2}}=16\to x=\frac{4\sqrt{3}}{3}\,km\] valore cui corrisponde il minimo cercato, come si deduce dall’analisi del segno della derivata stessa.
Massimo Bergamini