Ricevo da Lorenza la seguente domanda:
Buongiorno professore,
data la parabola di equazione \(y=-x^2+6x-5\), con vertice in \((3;4)\), ho difficoltá nel calcolare l’area massima di un triangolo \(BCD\) avente vertice nel punto \(B(5;0)\) e il lato opposto \(DC\) parallelo all’asse delle ascisse ed avente vertici appartenenti alla parabola.
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Lorenza,
detta \(x\) l’ascissa del punto \(C\), con \(3\le x\le 5\), si ha che l’ascissa del punto \(D\) è \(6-x\), per cui la base \(DC\) del triangolo misura \(2x-6\), mentre l’altezza relativa è l’ordinata comune ai punti \(C\) e \(D\), per cui l’area del triangolo \(BCD\) in funzione di \(x\) è \[S\left( x \right)=\frac{1}{2}\left( 2x-6 \right)\left( -{{x}^{2}}+6x-5 \right)=-{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-23x+15\] la cui derivata \[S'\left( x \right)=-3{{x}^{2}}+18x-23\] si annulla, nell’intervallo di interesse, per \(x=3+\frac{2\sqrt{3}}{3}\), corrispondente al massimo cercato, come si deduce dall’andamento del segno della derivata stessa.
Massimo Bergamini