Ricevo da Ettore la seguente domanda:
Caro professore,
cortesemente un aiuto per il seguente esercizio (n.589, pag.1994, Matematica.blu 2.0):
Determina l’integrale
\[\int{\left( {{x}^{6}}+{{x}^{3}} \right)\sqrt[3]{{{x}^{3}}+2}\,dx}\quad .\]
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Ettore,
con un piccolo “trucco” del tipo aggiungere e togliere, possiamo riscrivere l’integrale in questo modo:
\[\int{\left( {{x}^{6}}+{{x}^{3}} \right){{\left( {{x}^{3}}+2 \right)}^{\frac{1}{3}}}dx=}\int{\left( {{x}^{6}}+2{{x}^{3}}-{{x}^{3}} \right){{\left( {{x}^{3}}+2 \right)}^{\frac{1}{3}}}\,dx=}\int{{{x}^{3}}{{\left( {{x}^{3}}+2 \right)}^{\frac{4}{3}}}\,dx}-\int{{{x}^{3}}{{\left( {{x}^{3}}+2 \right)}^{\frac{1}{3}}}\,dx}\]
e integrando per parti il primo dei due integrali si ha la seguente uguaglianza:
\[\int{\left( {{x}^{6}}+{{x}^{3}} \right){{\left( {{x}^{3}}+2 \right)}^{\frac{1}{3}}}dx=}\frac{1}{4}{{x}^{4}}{{\left( {{x}^{3}}+2 \right)}^{\frac{4}{3}}}-\int{{{x}^{6}}{{\left( {{x}^{3}}+2 \right)}^{\frac{1}{3}}}\,dx}-\int{{{x}^{3}}{{\left( {{x}^{3}}+2 \right)}^{\frac{1}{3}}}\,dx}\]
da cui:
\[\int{\left( {{x}^{6}}+{{x}^{3}} \right){{\left( {{x}^{3}}+2 \right)}^{\frac{1}{3}}}dx=}\frac{1}{4}{{x}^{4}}{{\left( {{x}^{3}}+2 \right)}^{\frac{4}{3}}}-\int{\left( {{x}^{6}}+{{x}^{3}} \right){{\left( {{x}^{3}}+2 \right)}^{\frac{1}{3}}}\,dx}\to \]\[\to 2\int{\left( {{x}^{6}}+{{x}^{3}} \right){{\left( {{x}^{3}}+2 \right)}^{\frac{1}{3}}}dx=}\frac{1}{4}{{x}^{4}}{{\left( {{x}^{3}}+2 \right)}^{\frac{4}{3}}}\to \]\[\to \int{\left( {{x}^{6}}+{{x}^{3}} \right){{\left( {{x}^{3}}+2 \right)}^{\frac{1}{3}}}dx}=\frac{{{x}^{4}}{{\left( {{x}^{3}}+2 \right)}^{\frac{4}{3}}}}{8}+c\quad .\]
Massimo Bergamini