Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
la prego, mi aiuti a spiegare questo quesito:
Un mosaico ha la forma di un triangolo equilatero il cui lato è \(20\;cm\). Ogni piastrella del mosaico è a forma di triangolo equilatero il cui lato è \(1\;cm\). Le piastrelle gialle e azzurre si alternano all’interno del triangolo equilatero. Quante piastrelle di ciascun colore ci sono nel mosaico?
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
in generale, detto \(n\) il numero di piastrelle che sono allineate lungo un lato del mosaico triangolare (nel nostro caso \(n=20\)), si ha che il numero totale di piastrelle è pari a \(n^2\); tale numero è la somma di due termini: il primo è la somma \(S_n\) dei primi \(n\) termini della progressione aritmetica \(1,2,3,…,n\), che fornisce il numero delle piastrelle del colore assegnato alla prima piastrella in basso a sinistra, il secondo è la somma \({{S}_{n-1}}\) dei primi \(n-1\) termini della stessa progressione aritmetica \(1,2,3,…,n\), che fornisce il numero delle piastrelle dell’altro colore. Pertanto: \[{{S}_{n}}=1+2+3+...+n=\frac{n\left( n+1 \right)}{2}\quad {{S}_{n-1}}=\frac{n\left( n-1 \right)}{2}\to {{S}_{n}}+{{S}_{n-1}}={{n}^{2}}\quad .\]
Nel nostro caso, supponendo di avere scelto di colorare in azzurro la prima piastrella in basso a sinistra, si ha:
\[\text{n }\!\!{}^\circ\!\!\text{ azzurre}={{S}_{20}}=\frac{20\cdot 21}{2}=210\quad \text{n }\!\!{}^\circ\!\!\text{ gialle}={{S}_{19}}=\frac{19\cdot 20}{2}=190\quad .\]
Massimo Bergamini