Ricevo da Anna Laura la seguente domanda:
Gentile professore,
le propongo i seguenti problemi:
1) Un’ellisse, riferita al centro e agli assi, passa per il punto \(P(3; 2)\). La retta tangente in \(P\) ha coefficiente angolare \(-3/8\). Determina l’equazione dell’ellisse.
2) Dal punto \((0;3)\) conduci le tangenti all’ellisse di equazione \(\frac{{{x}^{2}}}{9}+{{y}^{2}}=1\).
Grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Anna Laura,
nel primo caso, utilizzando la formula di sdoppiamento per scrivere l’equazione della retta tangente a una generica ellisse canonica nel suo punto \(P\) otteniamo per tale retta l’equazione \[\frac{3x}{{{a}^{2}}}+\frac{2y}{{{b}^{2}}}=1\to y=-\frac{3{{b}^{2}}}{2{{a}^{2}}}x+\frac{{{b}^{2}}}{2}\]per cui, imponendo la coincidenza dei coefficienti angolari e l’appartenenza di \(P\) alla generica ellisse, otteniamo il sistema delle seguenti equazioni per le incognite \(a^2\) e \(b^2\): \[{{a}^{2}}=4{{b}^{2}}\quad \quad 9{{b}^{2}}+4{{a}^{2}}={{a}^{2}}{{b}^{2}}\] da cui si ricava che \({{a}^{2}}=25\) e \({{b}^{2}}=\frac{25}{4}\): l’equazione dell’ellisse cercata è quindi \[{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}=25\quad .\]
Nel secondo caso, posto che il fascio di rette di centro \((0;3)\) ha equazione \(y=mx+3\), l’equazione risolvente il sistema fascio-ellisse è la seguente: \[\left( 1+9{{m}^{2}} \right){{x}^{2}}+54mx+72=0\] da cui la condizione di tangenza (\(\Delta =0\)): \[729{{m}^{2}}-72\left( 1+9{{m}^{2}} \right)=0\to {{m}^{2}}=\frac{8}{9}\to {{m}_{1,2}}=\pm \frac{2\sqrt{2}}{3}\]e pertanto le rette tangenti hanno equazioni \[y=\pm \frac{2\sqrt{2}}{3}x+3\quad .\]
Massimo Bergamini